Question

Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением v=t^2+4t+3. Найти, пройдет путь s за время t=3 секунды от начала движения

Answer 1

Физический смысл производной. Производная от пути есть скорость, значит обратным будет первообразная(интеграл).

$s(t)=\displaystyle \int\limits^3_0 {(t^2+4t+3)} \, dt=\bigg(\frac{t^3}{3} +2t^2+3t\bigg)\bigg|^3_0=\frac{3^3}{3}+2\cdot 3^2+3\cdot3= 36~M$

Answer 2

Для того чтобы найти пройденный путь (s) за время t=3 секунды, нам нужно проинтегрировать уравнение скорости (v) по времени (t) от начального момента движения (t=0) до момента времени t=3.

Итак, у нас дано уравнение скорости v(t) = t^2 + 4t + 3.

Интегрируем уравнение скорости по времени:

∫v(t) dt = ∫(t^2 + 4t + 3) dt

Для интегрирования используем правила интегрирования степенной функции и линейной функции:

∫t^2 dt = (t^3)/3 + C1, где C1 - константа интегрирования ∫4t dt = 2t^2 + C2, где C2 - константа интегрирования ∫3 dt = 3t + C3, где C3 - константа интегрирования

Теперь найдем определенный интеграл от t=0 до t=3:

∫[0 to 3] v(t) dt = [(3^3)/3 + C1] + [2*(3^2) + C2] + [3*3 + C3]

Подставим значения:

s = [(27)/3 + C1] + [2*(9) + C2] + [9 + C3] s = [9 + C1] + [18 + C2] + [9 + C3]

Так как у нас нет информации о начальных условиях (начальное положение точки), то константы интегрирования C1, C2 и C3 не могут быть определены точно. Поэтому финальное выражение для пройденного пути s будет следующим:

s = 9 + C1 + 18 + C2 + 9 + C3

В общем виде, ответ будет выглядеть так: s = 36 + C1 + C2 + C3.