Question

При каких значениях параметра а уравнение ax^2 + (2a+1)x + 1 + a =0. Имеет 2 корня разных знаков?

Answer 1

Квадратное уравнение имеет два действительные корни, если его дискриминант больше нуля и коэффициент при х² не равен нулю, т.е.

$D=(2a+1)^2-4a(1+a)=4a^2+4a+1-4a-4a^2=1>0$

То есть, для всех а, кроме a=0 квадратное уравнение имеет два действительных корня

Нам нужно найти такой параметр а, чтобы корни квадратного уравнения были разных знаков, то есть один положительный и один отрицательный

По теореме Виета:

$x_1x_2=\frac{1+a}{a}$

_____+___(-1)___-___(0)____+____

то есть, при a ∈ (-1;0) квадратное уравнение имеет два корня разных знаков

Ответ: $a \in (-1;0).$

Answer 2

Для уравнения вида $ax^2 + (2a+1)x + 1 + a = 0$ с параметром $a$ необходимо, чтобы дискриминант $D$ этого квадратного уравнения был положительным числом. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$D = (2a+1)^2 - 4a(1+a)$

Условие для двух корней разных знаков: $D > 0$.

Подставим эту формулу для $D$ и решим неравенство:

$(2a+1)^2 - 4a(1+a) > 0$

Раскроем скобки:

$4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a > 0$

Упростим:

$1 > 0$

Так как это неравенство верно для всех значений $a$, нет каких-либо ограничений на $a$. То есть, для любого значения параметра $a$ уравнение $ax^2 + (2a+1)x + 1 + a = 0$ будет иметь два корня с разными знаками.