Question

Знайти двозначне число, куб суми цифр якого дорівнює квадрату цього числа.

Answer 1

Пусть a -- число десятков данного числа, b -- число единиц этого числа.

Тогда:

(a + b)³ = (10a + b)²

Значит, число должно быть кубом некого натурального числа, а сумма его цифр квадратом натурального числа.

Двузначные кубы: 27; 64

Проверяем 27:

9³ = 27²

729 = 729 -- верно

Проверяем 64:

10³ ≠ 64² -- не подходит

Ответ: 27

Answer 2

Давайте позначимо двозначне число як "AB", де "A" - цифра десятків, а "B" - цифра одиниць. Тоді число можна записати як 10A + B.

Сума цифр числа "AB" дорівнює A + B.

Куб суми цифр: (A + B)^3.

Квадрат числа: (10A + B)^2.

За умовою задачі, куб суми цифр дорівнює квадрату числа:

(A + B)^3 = (10A + B)^2.

Тепер розкриємо квадрат і куб:

A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = 100A^2 + 20AB + B^2.

Тепер перенесемо все в одну частину рівняння:

A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 - 100A^2 - 20AB - B^2 = 0.

Для того, щоб знайти двозначне число, ми можемо перебрати всі можливі значення A і B від 0 до 9 та перевірити, при яких значеннях отримаємо рівність. Проте, ми знаємо, що число двозначне, тому "A" не може бути рівним 0.

Почнемо з A = 1 і переберемо значення B:

1^3 + 3 * 1^2 * B + 3 * 1 * B^2 + B^3 - 100 * 1^2 - 20 * 1 * B - B^2 = 0.

1 + 3B + 3B^2 + B^3 - 100 - 20B - B^2 = 0.

B^3 + 2B^2 - 17B - 99 = 0.

Тепер ми можемо спростити рівняння, враховуючи, що B - ціле число:

(B - 9)(B + 11)(B + 1) = 0.

Тепер ми маємо три можливих значення для B: 9, -11 і -1.

Однак B не може бути від'ємним числом, оскільки воно представляє одиниці, тому відкинемо -11 і -1.

Отже, B = 9.

Тепер підставимо B у рівняння для A:

A^3 + 3A^2 * 9 + 3A * 9^2 + 9^3 - 100A^2 - 20A * 9 - 9^2 = 0.

A^3 + 27A^2 + 243A + 729 - 100A^2 - 180A - 81 = 0.

A^3 - 73A^2 + 63A + 648 = 0.

Тепер ми маємо ще одне рівняння, для якого ми можемо перевірити значення A:

A = 8: 8^3 - 73 * 8^2 + 63 * 8 + 648 = 512 - 4672 + 504 + 648 = 992 (не підходить).

A = 9: 9^3 - 73 * 9^2 + 63 * 9 + 648 = 729 - 5904 + 567 + 648 = 0 (підходить).

Таким чином, двозначне число, куб суми цифр якого дорівнює квадрату цього числа, це число 90.