Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-1,5x^2-6x+1 на отрезке [-2;0]

Answer 1

Для начала найдем производную функции f(x)=x³-1,5x²-6x+1

f'(x)=3x²-3x-6

3x²-3x-6=0 (:3)

x²-x-2=0

D=1+8=9

x₁=2∉ промежутку x₂=-1∈ промежутку [-2;0]

y(-2)=-8-6+12+1=-1

y(-1)=-1-1,5+6+1=4,5

y(0)=1

Ответ: y наиб = 4,5

y наим = -1

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = x^3 - 1.5x^2 - 6x + 1 на отрезке [-2; 0], следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем значения функции на граничных точках отрезка: в точках x = -2 и x = 0.

2. Найдем значения производной функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки на отрезке [-2; 0].

3. Определим, являются ли найденные критические точки локальными экстремумами, проверяя знаки второй производной.

4. Сравним значения функции в граничных точках и найденных критических точках, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения на отрезке.

Шаг 1: f(-2) = (-2)^3 - 1.5(-2)^2 - 6(-2) + 1 f(-2) = -8 + 6 - 12 + 1 f(-2) = -13

f(0) = 0^3 - 1.5(0)^2 - 6(0) + 1 f(0) = 1

Шаг 2: Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 3x - 6

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 3x^2 - 3x - 6 = 0

Шаг 3: Решим уравнение: 3x^2 - 3x - 6 = 0 x^2 - x - 2 = 0

Решив уравнение, получим две критические точки: x = -1 и x = 2.

Теперь проверим знаки второй производной для определения характера точек.

f''(x) = 6x - 3

Для x = -1: f''(-1) = 6(-1) - 3 = -9 (отрицательное число)

Для x = 2: f''(2) = 6(2) - 3 = 9 (положительное число)

Таким образом, x = -1 является локальным максимумом, а x = 2 - локальным минимумом.

Шаг 4: Сравним значения функции в граничных точках и найденных критических точках:

f(-2) = -13 (наименьшее значение) f(-1) = (-1)^3 - 1.5(-1)^2 - 6(-1) + 1 = -1.5 (наибольшее значение) f(2) = 2^3 - 1.5(2)^2 - 6(2) + 1 = -11 (второе наименьшее значение) f(0) = 1 (второе наибольшее значение)

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2; 0] равно -13, а наибольшее значение -1.5.