Question

Найти частное решение (частный интеграл) уравнения 2y(x^2+1)y'=1, y(1)=0

Answer 1

$2y(x^2+1)\frac{dy}{dx}=1;\ 2y\, dy=\frac{dx}{x^2+1};\ d(y^2)=d(arctg\ x);\ y^2=arctg\ x +C;\ 0^2=arctg 1 +C; C=-\frac{\pi}{4};\ y^2=arctg\ x-\frac{\pi}{4}$

Ответ: $4arctg\ x-4y^2=\pi$

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения, используем метод разделения переменных и интегрирования.

Уравнение имеет вид: 2y(x^2 + 1)y' = 1

Шаг 1: Разделим уравнение на 2y:

y'(x^2 + 1) = 1 / (2y)

Шаг 2: Перенесем y на одну сторону уравнения:

2y dy = dx / (x^2 + 1)

Шаг 3: Проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫2y dy = ∫dx / (x^2 + 1)

y^2 = arctan(x) + C

где C - константа интегрирования.

Шаг 4: Применяем начальное условие y(1) = 0, чтобы найти значение константы C:

0^2 = arctan(1) + C

C = -arctan(1) = -π/4

Итак, окончательное частное решение уравнения:

y^2 = arctan(x) - π/4

Чтобы найти y(x), возьмем квадратный корень с обеих сторон:

y(x) = ±√(arctan(x) - π/4)

Обратите внимание, что там появляется знак ±, потому что включает возможность двух решений из-за возведения в квадрат в ходе решения уравнения. Окончательное решение будет состоять из двух ветвей.