Question

Найдите точку экстремума функции y = sqrt(6x-x^2+16)

Answer 1

Ловите. В точке x=3 достигается максимум y(x). Удачи вам!

Answer 2

Извлечение квадратного корня не влияет на положение точки экстремума функции, если при этом аргумент не является отрицательным числом. Поэтому будем искать экстремум функции z=6x-x²+16, для чего найдем производную и приравняем ее нулю.

z' = 6-2x; 6-2x=0 ⇒ x=3. Это и есть точка экстремума.

Значение y(3) = √(6×3-3²+16) = 5.

Поскольку в выражении z(x) при х² знак отрицательный, график z(x) - квадратная парабола, ветви которой направлены вниз, а в точке х=3 достигается максимум.

Answer 3

Для нахождения точки экстремума функции, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю.

1. Найдем производную функции y по x:

   y = sqrt(6x - x^2 + 16) y' = d/dx[sqrt(6x - x^2 + 16)]

   Для нахождения производной функции используем цепное правило: y' = (1/2)*(6x - x^2 + 16)^(-1/2) * d/dx(6x - x^2 + 16)

   Вычислим производную d/dx(6x - x^2 + 16): d/dx(6x - x^2 + 16) = 6 - 2x

   Подставим полученное значение обратно в y': y' = (1/2)*(6x - x^2 + 16)^(-1/2) * (6 - 2x)

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

   y' = 0 (1/2)*(6x - x^2 + 16)^(-1/2) * (6 - 2x) = 0

   Умножим обе стороны на 2*(6x - x^2 + 16)^(1/2):

   (6 - 2x) = 0

   Теперь решим уравнение относительно x:

   6 - 2x = 0 2x = 6 x = 6 / 2 x = 3

3. Теперь найдем значение y в точке x = 3:

   y = sqrt(6x - x^2 + 16) = sqrt(6*3 - 3^2 + 16) = sqrt(18 - 9 + 16) = sqrt(25) = 5

Таким образом, точка экстремума функции y = sqrt(6x - x^2 + 16) находится в точке (x, y) = (3, 5). Это является минимумом функции, так как в окрестности этой точки функция возрастает как справа, так и слева от неё.