Question

Помогите пожалуйста срочно решить неравенство 2*3^x+9*4^x>=(больше или равно)12^x+18

Answer 1

Решение представлено на фотографии

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте постараемся привести все слагаемые к одной степени. Начнем сравнивать степени чисел 3, 4 и 12.

У нас есть:

2 * 3^x + 9 * 4^x ≥ 12^x + 18

Посмотрим на числа в неравенстве:

3^x и 4^x можно представить как (3^x) и (2^x)^2 соответственно, а 12^x можно представить как (3^x) * (2^x).

Теперь наше неравенство примет вид:

2 * (3^x) + 9 * (2^x)^2 ≥ (3^x) * (2^x) + 18

Обозначим 3^x за a и 2^x за b:

2a + 9b^2 ≥ ab + 18

Теперь у нас есть квадратное неравенство, которое можно решить. Приведем все слагаемые в одну сторону:

9b^2 - ab + 18 - 2a ≥ 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство вида ax^2 + bx + c ≥ 0, где a = 9, b = -a и c = 18 - 2a.

Найдем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4 * 9 * (18 - 2a) = a^2 - 4 * 9 * (18 - 2a)

D = a^2 - 4 * 9 * 18 + 4 * 9 * a = a^2 - 648 + 36a

Теперь найдем значения a, при которых D ≥ 0:

a^2 - 648 + 36a ≥ 0

Это квадратное неравенство тоже можно решить:

a^2 + 36a - 648 ≥ 0

(a + 54)(a - 12) ≥ 0

Таким образом, имеем два случая:

1. a + 54 ≥ 0 и a - 12 ≥ 0

2. a + 54 ≤ 0 и a - 12 ≤ 0

Решим каждый случай:

1. a + 54 ≥ 0 и a - 12 ≥ 0

a ≥ -54 и a ≥ 12

Так как a = 3^x, то получаем:

3^x ≥ -54 и 3^x ≥ 12

Заметим, что 3^x всегда положительно, поэтому условие 3^x ≥ -54 выполняется для любых x.

Итак, первый случай даёт нам допустимые значения x для любого x.

2. a + 54 ≤ 0 и a - 12 ≤ 0

a ≤ -54 и a ≤ 12

Заметим, что 3^x всегда положительно, поэтому условие a ≤ -54 никогда не выполняется.

Теперь рассмотрим условие a ≤ 12:

3^x ≤ 12

Прологарифмируем обе стороны:

x * log(3) ≤ log(12)

Теперь разделим обе стороны на log(3). Обратите внимание, что log(3) положителен, поэтому знак неравенства не изменится:

x ≤ log(12) / log(3)

Вычислим правую сторону:

x ≤ 2.2618...

Таким образом, второй случай даёт нам допустимые значения x, если x ≤ 2.2618...

Итак, решение исходного неравенства: x принадлежит множеству всех действительных чисел, а также x ≤ 2.2618...