Question

Сколькими способами можно составить две группы по пять человек каждая, если всего 115 человек. Не важно, в каком порядке люди находятся в своих группах.

Answer 1

Количество способов составить одну группу в 5 человек из 115: $C^5_{115} = \frac{115!}{5! * 110!}$

Далее из оставшихся 110 человек составляется еще одна группа: $C^{5}_{110} = \frac{110!}{5! * 105!}$

В итоге получаем $C^5_{115} * C^5_{110} = M^{5,5}_{115} = \frac{115!}{5!*5!*105!}$ - (M - мультиномиальный коэффициент) если группы различимы (т.е., например, определить первую пятерку человек в первую группу и вторую пятерку во вторую - не то же самое, что определить первую пятерку во вторую группу, а вторую пятерку определить в первую)

Иначе - вдвое меньше

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать комбинаторику. Мы хотим разделить 115 человек на две группы по 5 человек в каждой.

Сначала выберем 5 человек для первой группы. Это можно сделать по формуле сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),

где n - количество элементов (в данном случае 115 человек), k - количество элементов в группе (5 человек).

C(115, 5) = 115! / (5! * (115 - 5)!) = 115! / (5! * 110!) = (115 * 114 * 113 * 112 * 111) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 18643560.

Теперь, когда первая группа составлена, осталось выбрать 5 человек для второй группы из оставшихся 110 человек (после того, как мы уже выбрали 5 человек для первой группы).

C(110, 5) = 110! / (5! * (110 - 5)!) = 110! / (5! * 105!) = (110 * 109 * 108 * 107 * 106) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 265462.

Но у нас есть проблема: каждая возможная комбинация людей для первой и второй группы была учтена дважды (в разных порядках), поэтому нам нужно поделить полученное число на 2.

Итак, общее количество способов составить две группы по пять человек каждая:

18643560 * 265462 / 2 = 4947644535920.

Таким образом, есть 4,947,644,535,920 способов составить две группы по пять человек каждая из 115 человек.