Question

Найти сумму точек экстремума функции y=(x-2)/(x^2+5) Пожалуйста очень подробно, что откуда берется.

Answer 1

Ловите. Находите производную (по правилу частного двух функций), приравнивает ее к нулю. Находите критические точки, определяете знаки производной на каждом интервале, разделенном критическими точками. Если производная меняет знак, проходя, через критическую точку, то эта точка экстремума. Удачи вам!

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны сначала найти её производные и приравнять их к нулю, затем решить полученные уравнения относительно переменных. После этого проверим, являются ли эти точки локальными минимумами или максимумами, а также найдем значение функции в этих точках.

Дано: Функция y = (x - 2) / (x^2 + 5)

Шаг 1: Найдем производную функции y по x (y').

y = (x - 2) / (x^2 + 5)

Для нахождения производной сложной функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

Если у = u/v, где u и v - функции, то y' = (u'v - uv') / v^2

где u' - производная u по x, v' - производная v по x.

Производная числителя (u'):

u' = d/dx (x - 2) = 1 (производная постоянной равна нулю)

Производная знаменателя (v'):

v' = d/dx (x^2 + 5) = 2x (производная x^2 равна 2x, производная постоянной равна нулю)

Теперь найдем производную функции y (y'):

y' = [(1) * (x^2 + 5) - (x - 2) * (2x)] / (x^2 + 5)^2 y' = (x^2 + 5 - 2x^2 + 4x) / (x^2 + 5)^2 y' = (-x^2 + 4x + 5) / (x^2 + 5)^2

Шаг 2: Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

(-x^2 + 4x + 5) / (x^2 + 5)^2 = 0

Так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю:

-x^2 + 4x + 5 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение для определения точек экстремума:

Для решения уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

x = (-b ± √D) / 2a

В нашем случае, a = -1, b = 4, c = 5.

D = 4^2 - 4 * (-1) * 5 D = 16 + 20 D = 36

x = (-(4) ± √36) / (2 * (-1)) x = (-4 ± 6) / (-2)

Таким образом, получим два значения x:

x1 = (-4 + 6) / (-2) = 2 / (-2) = -1 x2 = (-4 - 6) / (-2) = -10 / (-2) = 5

Итак, у нас две точки экстремума: x = -1 и x = 5.

Шаг 4: Определение типа точек экстремума и значения функции в этих точках.

Теперь, чтобы определить типы точек экстремума и значения функции в этих точках, будем анализировать знак производной в окрестности каждой точки.

1. Для x = -1: Подставим x = -1 в производную y': y' = (-(-1)^2 + 4*(-1) + 5) / ((-1)^2 + 5)^2 y' = (1 - 4 + 5) / (1 + 5)^2 y' = 2 / 36 y' = 1/18

Получили положительное значение производной (y' > 0) при x = -1. Это значит, что функция возрастает в окрестности точки x = -1. Таким образом, точка x = -1 является локальным минимумом.

Теперь, чтобы найти значение функции в этой точке, подставим x = -1 в исходную функцию y:

y = (x - 2) / (x^2 + 5) y = (-1 - 2) / ((-1)^2 + 5) y = (-3) / (1 + 5) y = -3/6 y = -1/2

Таким образом, у нас есть локальный минимум в точке (-1, -1/2).

2. Для x = 5: Подставим x = 5 в производную y': y' = (-(5)^2 + 4*(5) + 5) / ((5)^2 + 5)^2 y' = (-25 + 20 + 5) / (25 + 5)^2 y' = 0 / 30^2 y' = 0

Получили значение производной равное нулю (y' = 0) при x = 5. Это значит, что нам не хватает информации, чтобы определить тип точки экстремума с помощью первой производной теста. В этом случае, мы можем воспользоваться второй производной.

Шаг 5: Найдем вторую производную функции y (y'').

Для нахождения второй производной, просто возьмем производную первой производной (y') по x.

y' = (-x^2 + 4x + 5) / (x^2 + 5)^2

Для удобства обозначим чис