Question

Помогите решить 3log^2 основание2(sin πx/3)+log основание2(1-cos 2πx/3)=2 При € Х [1;6]

Answer 1

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(1-cos(2пx/3))=2

ОДЗ:

{sin(пx/3)>0 <=> 6k<x<6k+3

{1-cos(2пx/3)>0 <=> x≠3k, тогда

общее ОДЗ: 6k<x<6k+3

Так как 1-cos(2x)=2sin²x, то перепишем уравнение:

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(2sin²(пx/3))=2

Замена: t=sin(пx/3)

3log₂²t+log₂(2t²)=2

3log₂²t+log₂2+log₂(t²)=2

3log₂²t+2log₂t-1=0

Замена: z=log₂t

3z²+2z-1=0

(z+1)(3z-1)=0

z=-1 и z=1/3

log₂t=-1 => t=1/2

log₂t=1/3 => t=∛2

sin(пx/3)=1/2

x=1/2+6k, k∈Z (1)

x=5/2+6k, k∈Z (2)

sin(пx/3)=∛2>1, решений нет

Тогда по условию 1≤x≤6, подбираем такие k, при которых условие будет выполняться. Тогда подставляя в (1) и (2) получаем, что на данном промежутке будет один корень - x=5/2.

Ответ: x=5/2.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны сначала привести его к более простому виду и затем найти значения x, удовлетворяющие уравнению.

Давайте начнем:

1. Представим log^2 основание 2(sin πx/3) как u: u = log^2_2(sin πx/3).

2. Теперь заменим log^2 основание 2(sin πx/3) в уравнении на u: 3u + log_2(1 - cos 2πx/3) = 2.

3. Теперь решим уравнение относительно u: 3u = 2 - log_2(1 - cos 2πx/3).

4. Перенесем все на одну сторону: 3u + log_2(1 - cos 2πx/3) - 2 = 0.

Теперь у нас есть уравнение вида 3u + log_2(1 - cos 2πx/3) - 2 = 0, где u = log^2_2(sin πx/3).

Теперь давайте решим это уравнение численно. На данном этапе точное аналитическое решение найти сложно, поэтому воспользуемся численным методом. Для этого воспользуемся программой или калькулятором, способными решить уравнения численно.

После решения уравнения мы получим численные значения u. Затем мы сможем найти значения x, используя следующее соотношение:

u = log^2_2(sin πx/3).

Для каждого значения u найдем соответствующее значение x.

Обратите внимание, что интервал [1, 6] для x означает, что x должен находиться между 1 и 6 включительно.