Question

Прямоугольник с диагональю 6 см поместили внутрь окружно- сти, а эту окружность поместили в другой прямоугольник. Ука- жите минимальное значение периметра прямоугольника, в кото- рый поместили окружность. 2. Внутри прямоугольника со сторонами 4 и 6 см нарисовали ок- ружность. После этого на окружности отметили несколько точек и соединили все соседние точки, в результате чего получился многоугольник. Укажите минимальное значение, которое точно не сможет превысить периметр этого многоугольника. Помогите пожалуйста 25 баллов!!!

Answer 1

1) Так как прямоугольник с диагональю 6 поместили в окружность, то минимальный радиус этой окружности будет тогда, когда этот прямоугольник будет вписан в окружность. Значит диаметр этой окружности равен 6.
Из всех прямоугольников, в которые можно поместить окружность, наименьшим будет тот, у которого все стороны равны диаметру этой окружности( действительно, все другие прямоугольники, подходящие для этого, могут быть получены "передвижением" сторон между прямых, содержащих две противоположные стороны).
Так как у окружности диаметр равен 6, то сторона искомого прямоугольника( в нашем случае, по доказанному ранее, квадрата) равна 2*3=6, откуда P=6*4=24.
2) Максимальный диаметр окружности, которую можно поместить в прямоугольник, равен меньшей из его сторон. В нашем случае получаем, что диаметр равен 4.
Какое максимальное количество точек может быть на окружности? Их может быть бесконечно много. Так как по условию задания получился многоугольник, то точек не меньше 3.
И чем больше точек отмечается, тем больше многоугольник по периметру приближается к длине окружности(по сути, наш многоугольник состоит из хорд, из каждого конца которой выходит лишь одна хорда. При этом длина хорды не больше длины дуги, которую она стягивает. При количестве точек, стремящимся к бесконечности, длины каждой хорды будет немногим меньше длины дуги, которую, она стягивает, а в сумме все дуги и дадут длину окружности.) Значит искомое значение равно
$2 × \pi × 2= 4\pi$

Answer 2

Для решения обоих задач используем геометрические свойства фигур.

1. Прямоугольник внутри окружности: Пусть стороны прямоугольника равны a и b (a ≤ b), а диагональ равна 6 см. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольника верно: a^2 + b^2 = 6^2 = 36.

Чтобы минимизировать периметр прямоугольника, нужно найти такие значения a и b, при которых он вписывается в окружность, и периметр будет минимальным. Так как диагональ прямоугольника равна диаметру окружности, то радиус окружности равен половине диагонали:

Радиус окружности (r) = 6 см / 2 = 3 см.

Теперь мы можем записать систему уравнений: a^2 + b^2 = 36, (2r)^2 = (2 * 3)^2 = 36.

Подставим в первое уравнение (2r)^2 вместо 36: a^2 + b^2 = (2r)^2.

Таким образом, мы получаем, что наименьший периметр прямоугольника будет тогда, когда он является квадратом со сторонами a = b = 2r, то есть стороны прямоугольника равны 2 * 3 см = 6 см, и периметр составит:

Периметр = 2 * (a + b) = 2 * (6 + 6) = 24 см.

2. Многоугольник внутри прямоугольника: Минимальное значение периметра многоугольника, который может быть нарисован внутри прямоугольника, достигается, когда многоугольник является окружностью. В данном случае, так как окружность находится внутри прямоугольника со сторонами 4 и 6 см, то радиус окружности не может превышать половину минимальной стороны прямоугольника (в данном случае 4 см):

Радиус окружности (r) ≤ 4 см / 2 = 2 см.

Таким образом, максимальный периметр многоугольника, который мы можем получить, - это периметр окружности:

Периметр = 2 * π * r = 2 * 3.14 * 2 ≈ 12.56 см.

Ответы:

1. Минимальный периметр прямоугольника, в который поместили окружность, равен 24 см.
2. Минимальное значение периметра многоугольника, который может быть нарисован внутри прямоугольника со сторонами 4 и 6 см, равно приблизительно 12.56 см.