Question

Найти экстремум функции Z=x^2+y^2 при условии -x/3+y/4=1

Answer 1

Решение смотрите во вложении...

Answer 2

Для нахождения экстремума функции Z = x^2 + y^2 при условии -x/3 + y/4 = 1, воспользуемся методом множителей Лагранжа. Этот метод позволяет оптимизировать функцию при наличии условий (так называемых условий связи).

1. Составим функцию Лагранжа: L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(-x/3 + y/4 - 1)

Здесь λ (лямбда) — множитель Лагранжа.

2. Найдем частные производные функции L по x, y и λ и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки: ∂L/∂x = 2x - λ/3 = 0 ∂L/∂y = 2y + λ/4 = 0 ∂L/∂λ = -x/3 + y/4 - 1 = 0

3. Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения: 2x = λ/3 -> x = λ/6 Из второго уравнения: 2y = -λ/4 -> y = -λ/8

Теперь подставим значения x и y в условие (третье уравнение): -λ/6 / 3 - λ/8 / 4 = 1 (-2λ - 3λ)/24 = 1 -5λ = 24 λ = -24/5

4. Теперь найдем соответствующие значения x и y: x = (-24/5)/6 = -4/5 y = (-24/5)/8 = -3/5

Таким образом, критическая точка (x, y) равна (-4/5, -3/5), а значение λ равно -24/5.

5. Чтобы определить, является ли эта точка максимумом, минимумом или седловой точкой, нужно проанализировать вторые производные функции Z = x^2 + y^2.

∂^2Z/∂x^2 = 2 ∂^2Z/∂y^2 = 2

Обе вторые производные положительны, что означает, что у нас есть локальный минимум в точке (-4/5, -3/5). Так как у функции нет других критических точек, это единственный минимум.

Итак, функция Z = x^2 + y^2 имеет локальный минимум при x = -4/5 и y = -3/5 при условии -x/3 + y/4 = 1.