Question

сумма квадратов трех положительных чисел 179 , а сумма возможных попарных произведений этих чисел 21. найдите сумму данных чисел

Answer 1

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=179+2·21=221⇒a+b+c=√(221)

Answer 2

Пусть наши три положительных числа будут обозначены как a, b и c. У нас есть два условия:

1. a^2 + b^2 + c^2 = 179
2. ab + ac + bc = 21

Мы хотим найти сумму данных чисел: a + b + c.

Давайте решим эту систему уравнений.

Сначала возведем в квадрат уравнение (2):

(ab + ac + bc)^2 = 21^2 a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) = 441

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (3):

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) - (a^2 + b^2 + c^2) = 441 - 179

Мы знаем, что a^2 + b^2 + c^2 = 179, поэтому:

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) - 179 = 441 - 179

Теперь сгруппируем:

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) = 262

Теперь используем уравнение (1) и умножим его на 2:

2(a^2 + b^2 + c^2) = 2 * 179 = 358

Добавим это к уравнению (4):

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) + 358 = 262 + 358

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c) = 620

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют квадраты попарных произведений и произведение суммы чисел на их сумму.

Мы также знаем, что (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 179 + 2 * 21 = 221.

Теперь заменим a^2 + b^2 + c^2 в уравнении (5):

(a + b + c)^2 = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc(a + b + c)

221 = 620 + 2abc(a + b + c)

Теперь давайте рассмотрим второе условие (2):

ab + ac + bc = 21

Мы знаем, что (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 221.

Таким образом, (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc) = 221 - 2 * 21 = 221 - 42 = 179.

Теперь у нас есть значение (a + b + c)^2, и мы можем найти a + b + c:

a + b + c = √179 = 13.

Таким образом, сумма данных чисел a + b + c равна 13.