Question

Помогите пожалуйста со стереометрией В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 3, а боковое ребро √10. Точка M середина ребра SB. Найдите угол между прямой AM и плоскостью ABC

Answer 1

Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона а основания равна 3, а боковое ребро L = √10.

Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h, где h = a√3/2.

AO = (2/3)*(3√3/2) = √3.

Отсюда находим высоту пирамиды:

Н = √(L² - (√3)²) = √(10 - 30 = √7.

Высота точки М от основания равна половине высоты пирамиды, то есть √7/2.

Находим проекцию отрезка АМ на основание (это АМ1) по теореме косинусов из треугольника АОМ1. Точка О основание высоты SO.

АМ1 = √((√3)² + (√3/2)² - 2*√3*(√3/2)*(-1/2)) = √21/2.

Здесь (-1/2) это косинус угла 120°.

Определяем тангенс искомого угла α:

tg α = (√7/2)/(√21/2) = 1/√3.

Ответ: угол α = 30 градусов.

Answer 2

Хорошо, давайте рассмотрим задачу.

Обозначим точку середины ребра SB как M, а точку пересечения прямой AM с плоскостью ABC как P. Нам нужно найти угол между прямой AM и плоскостью ABC.

1. Сначала найдем координаты точек A, B и C на плоскости ABC.

Поскольку треугольник SABC правильный, его основание ABC также является правильным треугольником, в котором все стороны равны. Так как сторона основания равна 3, то длины сторон треугольника ABC будут равны 3, 3 и 3.

2. Найдем координаты точки M.

Так как точка M - середина ребра SB, то ее координаты будут средними координат точек S и B.

Пусть точка S имеет координаты (0, 0, 0) (произвольно выберем это как начало координат), а точка B имеет координаты (3, 0, 0), так как сторона основания равна 3. Тогда координаты точки M будут равны:

M = ((0 + 3) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 0) / 2) = (1.5, 0, 0).

3. Найдем уравнение плоскости ABC.

Так как сторона BC лежит в плоскости ABC, то векторное произведение сторон BA и BC будет нормалью к плоскости ABC.

BA = (A - B) = (0 - 3, 0 - 0, 0 - 0) = (-3, 0, 0).

BC = (C - B) = (3 - 3, 0 - 0, 0 - 0) = (0, 0, 0).

Нормаль к плоскости ABC будет равна:

n = BA x BC = (-3, 0, 0) x (0, 0, 0) = (0, 0, 0).

Так как нормаль к плоскости равна нулю, уравнение плоскости ABC имеет вид: 0x + 0y + 0z + d = 0, где d - произвольная константа. Учитывая, что точка A лежит на плоскости, то подставим ее координаты (0, 0, 3) в уравнение:

00 + 00 + 0*3 + d = 0,

d = 0.

Таким образом, уравнение плоскости ABC имеет вид: 0x + 0y + 0z = 0.

4. Найдем уравнение прямой AM.

Так как точка M имеет координаты (1.5, 0, 0), а точка A имеет координаты (0, 0, 3), направляющий вектор прямой AM будет равен:

AM = (M - A) = (1.5 - 0, 0 - 0, 0 - 3) = (1.5, 0, -3).

Уравнение прямой AM можно записать в параметрической форме:

x = 1.5t, y = 0, z = -3t.

5. Найдем точку пересечения прямой AM с плоскостью ABC.

Подставим параметрические уравнения прямой AM в уравнение плоскости ABC:

01.5t + 00 + 0*(-3t) = 0,

0 = 0.

Уравнение верно для любого значения t, что означает, что прямая AM лежит в плоскости ABC.

6. Найдем угол между прямой AM и плоскостью ABC.

Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. В данном случае, так как направляющий вектор прямой AM (1.5, 0, -3) и нормаль к плоскости ABC (0, 0, 0), угол между ними будет 90 градусов.

Итак, угол между прямой AM и плоскостью ABC составляет 90 градусов.