Question

Объясните пожалуйста, как решить В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 2, а высота равна √2. Найдите угол между плоскостями ABC и AB1C

Answer 1

Чтобы найти плоский угол между заданными плоскостями, проведём секущую плоскость через ребро ВВ1 перпендикулярно к диагонали АС.

Это будет угол ВОВ1, где О - точка пересечения диагоналей основания.

Так как ВО = ВВ1 = √2, то угол равен 45 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол между плоскостями ABC и AB1C, следует использовать геометрические свойства призмы. Обозначим угол между этими плоскостями как α.

Сначала рассмотрим треугольник ABC, который является прямоугольным треугольником, так как это правильная четырехугольная призма. Поскольку сторона основания равна 2, а высота равна √2, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину боковой стороны треугольника ABC (обозначим ее как a).

Теорема Пифагора гласит: a^2 + (√2)^2 = 2^2 a^2 + 2 = 4 a^2 = 4 - 2 a^2 = 2 a = √2

Теперь, давайте рассмотрим треугольник AB1C, который также является прямоугольным треугольником, потому что это правильная четырехугольная призма. Мы также можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину боковой стороны этого треугольника (обозначим ее как b).

Теорема Пифагора: b^2 + (√2)^2 = (2 + √2)^2 b^2 + 2 = 4 + 4√2 + 2 b^2 = 4 + 4√2 b = √(4 + 4√2)

Теперь, чтобы найти угол α между плоскостями ABC и AB1C, мы можем использовать свойство скалярного произведения нормалей этих плоскостей. Нормали к этим плоскостям - это векторы, перпендикулярные плоскостям.

Нормаль к плоскости ABC - это вектор, перпендикулярный ей и направленный вверх из вершины A. Так как ABC - прямоугольный треугольник, то нормаль будет направлена вдоль вектора AB и иметь длину √2 (длина высоты).

Нормаль к плоскости AB1C - это вектор, перпендикулярный ей и направленный вверх из вершины A1. Аналогично, нормаль будет направлена вдоль вектора A1B1 и иметь длину √(4 + 4√2) (длина высоты).

Теперь мы можем найти косинус угла между этими нормалями, используя скалярное произведение:

cos(α) = (нормаль ABC · нормаль AB1C) / (|нормаль ABC| * |нормаль AB1C|)

cos(α) = (√2 * √(4 + 4√2)) / (√2 * √2)

cos(α) = √(4 + 4√2) / 2

cos(α) = √2 + √2 / 2

Теперь, чтобы найти угол α, возьмем обратный косинус этого значения:

α = arccos(√2 + √2 / 2)

Окончательный ответ будет:

α ≈ 35.26 градусов (приблизительно).