Question

Сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии равна 32. Сумма ее членов с третьего по восьмой равна 84. Сумма ее членов с первого по восьмой равна ?

Answer 1

a₁+a₂+a₃+a₄ = 32

a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈ = 84

a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+(a₁+3d) = 32

(a₁+2d)+(a₁+3d)+(a₁+4d)+(a₁+5d)+(a₁+6d)+(a₁+7d) = 84

4a₁+6d = 32

6a₁+27d = 84

2a₁ + 3d = 16

2a₁ + 9d = 28 ---> 9d-6d = 28-16

d = 4

a₁ = 2

нужно найти: a₁+...+a₈ = a₁+a₂+ 84 = a₁+(a₁+d) + 84 = 2*2+4+84 = 92

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность между соседними членами d. Тогда сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть выражена следующей формулой:

Сумма первых n членов = n/2 * (2a + (n-1) * d)

Исходя из условия задачи:

1. Сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии равна 32:

Сумма первых 4 членов = 4/2 * (2a + (4-1) * d) = 2 * (2a + 3d) = 32

2. Сумма членов с третьего по восьмой равна 84:

Сумма членов с 3 по 8 = 6/2 * (2a + (8-3) * d) = 3 * (2a + 5d) = 84

Теперь нам нужно найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии.

3. Сумма первых восьми членов:

Сумма первых 8 членов = 8/2 * (2a + (8-1) * d) = 4 * (2a + 7d)

Мы хотим найти эту сумму, поэтому теперь нам нужно решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений, полученных из условия 1) и 2):

Уравнение 1: 2 * (2a + 3d) = 32 Уравнение 2: 3 * (2a + 5d) = 84

Давайте решим эту систему:

1. 2 * (2a + 3d) = 32 4a + 6d = 32 2a + 3d = 16 (разделили обе части на 2)

2. 3 * (2a + 5d) = 84 6a + 15d = 84 2a + 5d = 28 (разделили обе части на 3)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

1. 2a + 3d = 16
2. 2a + 5d = 28

Вычтем из уравнения 2) уравнение 1):

(2a + 5d) - (2a + 3d) = 28 - 16 2d = 12 d = 6

Теперь найдем a, подставив значение d в любое из исходных уравнений, например, в уравнение 1):

2a + 3d = 16 2a + 3 * 6 = 16 2a + 18 = 16 2a = 16 - 18 2a = -2 a = -1

Теперь у нас есть значения a и d:

a = -1 d = 6

Теперь найдем сумму первых восьми членов арифметической прогрессии:

Сумма первых 8 членов = 4 * (2a + 7d) = 4 * (2 * (-1) + 7 * 6) = 4 * (-2 + 42) = 4 * 40 = 160

Ответ: Сумма её членов с первого по восьмой равна 160.