Question

какие функции образуют фундаментальную систему решений линейного дифференциального уравнения x ′′ - 4x ′ + 5x = 0

Answer 1

Надо решить уравнение m²-4m+5=0.

Его корни m=2-i, m=2+i - комплексные числа. Получим далее

$e^{(2+i)t}=e^{2t}e^{it}=e^{2t}(\cos t + i \sin t);\\ e^{(2-i)t}=e^{2t}e^{-it}=e^{2t}(\cos t - i \sin t).$

Поэтому фундаментальная система решений состоит из функций

$e^{2t}\cos t$ и $e^{2t} \sin t$

Answer 2

Для линейного дифференциального уравнения второго порядка вида x ′′ - 4x ′ + 5x = 0, найдем его характеристическое уравнение, которое получается из исходного уравнения заменой производных на соответствующие символы:

r^2 - 4r + 5 = 0,

где r - неизвестная переменная.

Теперь решим квадратное уравнение относительно r:

r = (4 ± √(4^2 - 415)) / 2 r = (4 ± √(16 - 20)) / 2 r = (4 ± √(-4)) / 2 r = (4 ± 2i) / 2 r = 2 ± i.

Общее решение линейного дифференциального уравнения x ′′ - 4x ′ + 5x = 0 имеет вид:

x(t) = C₁ * e^(2t) * cos(t) + C₂ * e^(2t) * sin(t),

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Таким образом, фундаментальная система решений данного уравнения состоит из двух функций:

1. x₁(t) = e^(2t) * cos(t)
2. x₂(t) = e^(2t) * sin(t).

Эти две функции являются линейно независимыми и образуют базис в пространстве решений данного линейного дифференциального уравнения.