
Вычислить интеграл: ∫ от 0 до 2 (3x^2-1)dx; ∫ от 1 до 8 (3√x^2)dx


Ответы на вопрос





Давайте вычислим данные интегралы по очереди:
- ∫ от 0 до 2 (3x^2 - 1) dx:
Для вычисления данного интеграла, используем правило интегрирования для каждого слагаемого:
∫(3x^2 - 1) dx = ∫(3x^2) dx - ∫(1) dx
Для первого слагаемого используем правило интегрирования степенной функции:
∫(3x^2) dx = 3 * ∫(x^2) dx = 3 * (x^(2+1))/(2+1) + C = 3 * x^3/3 + C = x^3 + C
Для второго слагаемого, так как ∫(1) dx это просто интегрирование константы, получаем:
∫(1) dx = x + C
Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 2:
∫[0,2] (3x^2 - 1) dx = [x^3 + x] [0,2] = (2^3 + 2) - (0^3 + 0) = 10.
- ∫ от 1 до 8 (3√x^2) dx:
Здесь у нас под знаком интеграла находится квадратный корень от x^2, что равно модулю x, так как x^2 всегда неотрицательно, а корень от неотрицательного числа также неотрицателен. Таким образом, мы можем упростить выражение:
∫[1,8] (3√x^2) dx = ∫[1,8] (3|x|) dx
Для интегрирования модуля x воспользуемся разбиением интервала [1,8] на два подинтервала, где x > 0 и x < 0:
∫[1,8] (3|x|) dx = ∫[1,8] (3x) dx, при x > 0
Теперь интегрируем это по верхнему пределу 8 и нижнему пределу 1:
∫[1,8] (3x) dx = (3/2)x^2 [1,8] = (3/2)(8^2) - (3/2)(1^2) = 3*16/2 - 3/2 = 24 - 3/2 = 45/2.
Таким образом, интеграл ∫[1,8] (3√x^2) dx равен 45/2.


Похожие вопросы
Топ вопросов за вчера в категории Математика
Последние заданные вопросы в категории Математика
-
Математика
-
Литература
-
Алгебра
-
Русский язык
-
Геометрия
-
Английский язык
-
Химия
-
Физика
-
Биология
-
Другие предметы
-
История
-
Обществознание
-
Окружающий мир
-
География
-
Українська мова
-
Информатика
-
Українська література
-
Қазақ тiлi
-
Экономика
-
Музыка
-
Право
-
Беларуская мова
-
Французский язык
-
Немецкий язык
-
МХК
-
ОБЖ
-
Психология
-
Физкультура и спорт
-
Астрономия
-
Кыргыз тили
-
Оʻzbek tili