Question

Вычислить интеграл: ∫ от 0 до 2 (3x^2-1)dx; ∫ от 1 до 8 (3√x^2)dx

Answer 1

Решение на фото.......

Answer 2

Давайте вычислим данные интегралы по очереди:

1. ∫ от 0 до 2 (3x^2 - 1) dx:

Для вычисления данного интеграла, используем правило интегрирования для каждого слагаемого:

∫(3x^2 - 1) dx = ∫(3x^2) dx - ∫(1) dx

Для первого слагаемого используем правило интегрирования степенной функции:

∫(3x^2) dx = 3 * ∫(x^2) dx = 3 * (x^(2+1))/(2+1) + C = 3 * x^3/3 + C = x^3 + C

Для второго слагаемого, так как ∫(1) dx это просто интегрирование константы, получаем:

∫(1) dx = x + C

Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 2:

∫[0,2] (3x^2 - 1) dx = [x^3 + x] [0,2] = (2^3 + 2) - (0^3 + 0) = 10.

2. ∫ от 1 до 8 (3√x^2) dx:

Здесь у нас под знаком интеграла находится квадратный корень от x^2, что равно модулю x, так как x^2 всегда неотрицательно, а корень от неотрицательного числа также неотрицателен. Таким образом, мы можем упростить выражение:

∫[1,8] (3√x^2) dx = ∫[1,8] (3|x|) dx

Для интегрирования модуля x воспользуемся разбиением интервала [1,8] на два подинтервала, где x > 0 и x < 0:

∫[1,8] (3|x|) dx = ∫[1,8] (3x) dx, при x > 0

Теперь интегрируем это по верхнему пределу 8 и нижнему пределу 1:

∫[1,8] (3x) dx = (3/2)x^2 [1,8] = (3/2)(8^2) - (3/2)(1^2) = 3*16/2 - 3/2 = 24 - 3/2 = 45/2.

Таким образом, интеграл ∫[1,8] (3√x^2) dx равен 45/2.