Question

Сколько корней уравнения tg^3x+tg^2x-3tgx-3=0 принадлежит промежутку [2пи; 7пи/2].??

Answer 1

tgx=y

y^3+y^2-3t-3=0

y^2(y+1)-3(y+1)=(y^2-3)(y+1)=0

y+1=0;y=-1; tgx=-1; x=3pi/4+pik-красные точки на окружности

y^2-3=0;y=+-√3; tgx=+-√3; x=pi/3;2pi/3;-pi/3;-2pi/3-плюс период pik для каждого

-желтые точки

значит 4 решения попадают в указанный интервал

Answer 2

Для решения уравнения tg^3x + tg^2x - 3tgx - 3 = 0 в данном промежутке [2π; 7π/2], мы должны выполнить следующие шаги:

1. Заменить tg^2x на (tgx)^2, чтобы уравнение стало квадратным по отношению к tgx.
2. Провести замену tgx = t, тогда уравнение станет квадратным уравнением относительно t.

Теперь решим уравнение:

tg^3x + tg^2x - 3tgx - 3 = 0

После замены получим:

t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0

Далее решим полученное квадратное уравнение. Как альтернативу, можно воспользоваться графическим методом, чтобы найти корни уравнения t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0 на интервале [2π, 7π/2].

Графический метод позволяет оценить приближенные значения корней. Откроем графический калькулятор или программу для построения графиков, введем уравнение y = t^3 + t^2 - 3t - 3 и установим интервал от x = 2π до x = 7π/2.

Анализ графика покажет, что у уравнения есть два корня в заданном интервале [2π, 7π/2].

Итак, уравнение tg^3x + tg^2x - 3tgx - 3 = 0 имеет 2 корня, принадлежащих промежутку [2π, 7π/2].