Question

Дана функция f :R->R, f(x)=(3x-1)*e^x. Найдите точки локального экстремума функции

Answer 1

Функция имеет локальный минимум в точке x=-2/3. Подробнее на фото. Удачи вам!

Answer 2

Для нахождения точек локального экстремума функции f(x) = (3x - 1) * e^x, нужно найти её критические точки, т.е., точки, где производная функции равна нулю или не существует. Затем нужно проверить знак производной в окрестности этих критических точек, чтобы определить, является ли каждая из них точкой локального максимума или минимума.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по x: f'(x) = d/dx [(3x - 1) * e^x] f'(x) = (3x - 1) * d/dx[e^x] + e^x * d/dx[3x - 1] f'(x) = (3x - 1) * e^x + 3 * e^x f'(x) = (3x + 2) * e^x

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: (3x + 2) * e^x = 0

Это уравнение имеет одно решение: 3x + 2 = 0 3x = -2 x = -2/3

Шаг 3: Определим характер точки - локальный максимум или минимум. Для этого проанализируем знак производной в окрестности критической точки x = -2/3.

Возьмем произвольную точку x_1 меньше -2/3 (например, x_1 = -1), и подставим её в f'(x): f'(-1) = (3 * (-1) + 2) * e^(-1) = -e^(-1) < 0

Теперь возьмем произвольную точку x_2 больше -2/3 (например, x_2 = 0), и подставим её в f'(x): f'(0) = (3 * 0 + 2) * e^0 = 2 > 0

Когда x меньше -2/3, производная f'(x) отрицательна, и когда x больше -2/3, производная f'(x) положительна.

Заключение: В точке x = -2/3 производная меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, функция имеет локальный минимум в этой точке.

Ответ: Точка локального минимума функции f(x) = (3x - 1) * e^x находится при x = -2/3.