Question

Помогите пожалуйста решить задачу: Из множества чисел (1,2,...n) случайным образом выбирают два подмножества (возможно,одинаковые), так что все подмножества выбираются с одинаковыми вероятностями. Какова вероятность того, что эти два подмножества пересекаются? Найти предел этой вероятности при n стремящейся к бесконечности. Заранее спасибо огромное!!!

Answer 1

Чтобы подмножества не пересекались, не должно найтись числа, принадлежащего сразу обоим множествам. Вероятность того, что конкретное число не входит в два множества одновременно, равна 3/4 (оно входит в оба множества с вероятностью 1/2 * 1/2 = 1/4). Значит, вероятность того, что множества не пересекаются, равна (3/4)^n – вероятности того, что все n чисел не входят в оба множества сразу.

Тогда вероятность пересечения множеств равна 1 - (3/4)^n. При увеличении n эта вероятность стремится к 1.

Answer 2

Для решения этой задачи рассмотрим два подмножества A и B, состоящих из элементов множества {1, 2, ..., n}. Всего возможных способов выбрать два подмножества из данного множества будет 2^n * 2^n, потому что каждый элемент может входить или не входить в каждое из подмножеств.

Теперь посмотрим, сколько из этих способов приводят к пересечению двух подмножеств (то есть к тому, что хотя бы один элемент принадлежит и A и B). Предположим, что k элементов входят в оба подмножества A и B. Количество способов выбрать k элементов из n элементов равно C(n, k) (биномиальный коэффициент). Затем оставшиеся (n - k) элементов могут входить только в A, только в B или в оба подмножества, тогда существует 3^(n - k) способов выбрать их.

Таким образом, общее количество способов выбрать два пересекающихся подмножества равно сумме всех возможных вариантов с разными значениями k:

$\sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot 3^{n-k}$

Теперь, чтобы найти вероятность пересечения, нужно разделить количество способов выбрать пересекающиеся подмножества на общее количество способов выбрать любые два подмножества:

$P(\text{пересечение}) = \frac{\sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot 3^{n-k}}{2^n \cdot 2^n}$

Теперь давайте найдем предел этой вероятности при n стремящемся к бесконечности. Для этого проанализируем отношение двух последовательных членов этой суммы:

$\frac{C(n, k+1) \cdot 3^{n-(k+1)}}{C(n, k) \cdot 3^{n-k}} = \frac{3(n-k)}{k+1}$

Как видно, данное отношение не зависит от n, а зависит только от k. Таким образом, можно утверждать, что при больших значениях n, все члены суммы будут почти равны. Поэтому предел этой вероятности можно найти, заменив сумму интегралом:

$P(\text{пересечение}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot 3^{n-k}}{2^n \cdot 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{2n}} \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot 3^{n-k}$

$P(\text{пересечение}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{2n}} \cdot 3^n \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^k$

С помощью бинома Ньютона, можно показать, что $\sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^k = \left(\frac{7}{4}\right)^n$.

Таким образом,

$P(\text{пересечение}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{2n}} \cdot 3^n \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 \cdot 7}{2^2}\right)^n$

$P(\text{пересечение}) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{21}{4}\right)^n = 0$

Таким образом, вероятность того, что два подмножества пересекаются, стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности. Это означает, что с ростом n, шансы того, что два случайно выбранных подмножества из множества {1, 2, ..., n} пересекаются, становятся крайне малыми.