Question

Точки А (1; 2) Б (2; 4) С (4; 5) Д (4; 2) є вершинами чотирикутника. Знайти величину кута між діагоналями цього чотирикутника . Помогите скоро вступной екзамен

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Добре, давайте знайдемо величину кута між діагоналями чотирикутника. Нехай точки А, Б, С і Д є вершинами чотирикутника ABCD, де А(1, 2), Б(2, 4), С(4, 5) і Д(4, 2).

Крок 1: Знайти довжини діагоналей

Діагоналі чотирикутника - це лінії, які з'єднують протилежні вершини. В нашому випадку, діагоналі цього чотирикутника будуть:

1. Діагональ AC, яка з'єднує вершини A(1, 2) і C(4, 5).
2. Діагональ BD, яка з'єднує вершини B(2, 4) і D(4, 2).

Використовуючи формулу для відстані між двома точками в координатній площині:

Для діагоналі AC: Довжина AC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] Довжина AC = √[(4 - 1)² + (5 - 2)²] Довжина AC = √[3² + 3²] Довжина AC = √(9 + 9) Довжина AC = √18 Довжина AC ≈ 4.24

Для діагоналі BD: Довжина BD = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] Довжина BD = √[(4 - 2)² + (2 - 4)²] Довжина BD = √[2² + (-2)²] Довжина BD = √(4 + 4) Довжина BD = √8 Довжина BD ≈ 2.83

Крок 2: Знайти косинус кута між діагоналями

Кут між двома векторами можна знайти, використовуючи їхній скалярний добуток і довжини векторів.

Косинус кута між двома векторами (в даному випадку діагоналями) дорівнює: cos θ = (A · B) / (|A| * |B|),

де A · B - скалярний добуток векторів (діагоналей), |A| і |B| - довжини векторів (діагоналей).

Знайдемо скалярний добуток діагоналей AC і BD: A · B = ACx * BDx + ACy * BDy, де ACx, ACy - координати вектора AC, BDx, BDy - координати вектора BD.

ACx = 4 - 1 = 3 ACy = 5 - 2 = 3 BDx = 4 - 2 = 2 BDy = 2 - 4 = -2

A · B = 3 * 2 + 3 * (-2) = 6 - 6 = 0

Знайдемо довжини діагоналей: |A| = √18 ≈ 4.24 (вже обчислено на першому кроці) |B| = √8 ≈ 2.83 (вже обчислено на першому кроці)

Крок 3: Знайти кут між діагоналями

Тепер знаємо значення косинуса кута, і можемо знайти кут між діагоналями використовуючи обернений косинус (арккосинус):

θ = arccos(cos θ) θ = arccos(0) θ ≈ 90°

Отже, величина кута між діагоналями цього чотирикутника приблизно дорівнює 90 градусів. Кут чотирикутника близький до прямого кута, що робить його схожим на прямокутник.

Бажаю успіху на вступному екзамені! Якщо у вас є ще питання, не соромтеся питати.