Question

10(2x+1)^(4)-30(2x+1)^(2)-40 = 0 Найти x, и объяснить как

Answer 1

Поделим левую и правую части уравнения на 10(для удобства)

$(2x+1)^4-3\cdot(2x+1)^2-4=0$

Пусть $(2x+1)^2=t$, при этом $t\geq 0$ имеем квадратное уравнение относительно t:

$t^2-3t-4=0$

По теореме Виета:

$t_1=-1$ - не удовлетворяет условию при t ≥ 0

$t_2=4$

Обратная замена:

$(2x+1)^2=4\\ (2x+1)^2-4=0$

В левой части уравнения применим формулу разность квадратов

$(2x+1+2)(2x+1-2)=0\\ (2x+3)(2x-1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль:

$2x+3=0~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=-1.5}\\ 2x-1=0~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_2=0.5}$

Answer 2

Для решения уравнения 10(2x+1)^(4) - 30(2x+1)^(2) - 40 = 0 сначала давайте введем замену переменной. Обозначим (2x+1) за t. Тогда уравнение примет вид:

10t^4 - 30t^2 - 40 = 0

Теперь решим это уравнение относительно t:

10t^4 - 30t^2 - 40 = 0

Разделим все члены на 10:

t^4 - 3t^2 - 4 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно t^2. Для удобства введем новую переменную z:

z = t^2

Теперь уравнение примет вид:

z^2 - 3z - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно z. Можно решить его с помощью факторизации или используя квадратное уравнение:

(z - 4)(z + 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения z:

1. z - 4 = 0 => z = 4
2. z + 1 = 0 => z = -1

Теперь вернемся к нашей замене переменной:

1. t^2 = 4 => t = ±√4 => t = ±2
2. t^2 = -1 => нет действительных решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.

Но мы не завершили задачу. Нам нужно найти значения x, а не t. Вспомним, что мы ввели замену t = 2x + 1:

1. t = 2x + 1 = 2 => 2x = 2 - 1 => x = 1/2
2. t = 2x + 1 = -2 => 2x = -2 - 1 => x = -3/2

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 1/2 и x = -3/2. Проверим, подставив эти значения обратно в исходное уравнение:

1. При x = 1/2: 10(2*(1/2) + 1)^4 - 30(2*(1/2) + 1)^2 - 40 = 10(2)^4 - 30(2)^2 - 40 = 10(16) - 30(4) - 40 = 160 - 120 - 40 = 0 (верно)

2. При x = -3/2: 10(2*(-3/2) + 1)^4 - 30(2*(-3/2) + 1)^2 - 40 = 10(-2)^4 - 30(-2)^2 - 40 = 10(16) - 30(4) - 40 = 160 - 120 - 40 = 0 (верно)

Оба решения верны, значит, x = 1/2 и x = -3/2 являются корнями уравнения.