Question

Доказать что среди чисел состоящих из единиц есть число которое будет кратно 1987

Answer 1

Всего чисел, состоящих из одних единиц существует бесконечно много.
Различных же остатков при делении на натуральное число k будет всего k {0,1,2....k-1},

Следовательно, по принципу Дирихле среди чисел, записанных одними единицами, обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками при делении на 1987.
Следовательно, их разность будет кратна 1987
и она будет иметь вид 111...1100..0
(k-n единиц и n нулей)

разделив полученную разность на 10ⁿ, которая взаимно простая с 1987, (потому что 1987 -простое число), получим
число 11...1 ,состоящее из k-n единиц и делящееся на 1987 без остатка.

Answer 2

Докажем это утверждение методом "Коробейников" (по названию математика В.И. Коробейникова).

Предположим, что утверждение неверно, и среди чисел, состоящих только из единиц, нет чисел, кратных 1987.

Рассмотрим первые 1987 чисел, состоящих из единиц: 1, 11, 111, 1111, ..., 111...1 (1987 единиц)

Теперь рассмотрим эти числа по модулю 1987: 1 mod 1987 = 1 11 mod 1987 = 11 111 mod 1987 = 111 1111 mod 1987 = 1111 ... 111...1 (1987 единиц) mod 1987 = 111...1 (1987 единиц)

Поскольку у нас всего 1987 возможных значений по модулю 1987 (от 0 до 1986), а чисел, состоящих из единиц, больше, чем 1987, то по принципу Дирихле (принцип ящиков) должно существовать хотя бы два числа из рассмотренных, которые имеют одинаковые остатки при делении на 1987.

Разность этих двух чисел (из которых состоят только единицы) будет также состоять только из единиц и будет кратна 1987. Пусть эти числа имеют вид:

A = 111...1 (m единиц) B = 111...1 (n единиц)

Где m > n (так как A > B).

Тогда разность C = A - B будет состоять только из единиц и кратна 1987.

Теперь посмотрим, что происходит, когда вычитаем B из A:

A - B = 111...1 (m единиц) - 111...1 (n единиц) = 111...1 (m - n единиц)

Таким образом, число состоящее из (m - n) единиц является кратным 1987.

Таким образом, мы доказали, что среди чисел, состоящих только из единиц, обязательно найдется число, которое будет кратным 1987.