Question

Найти все значений а, при которых неравенство f'(x) < o не имеет действительных решений, если f(x) = ax^7 + x^3 -1

Answer 1

F('x)=(ax^7+x³-1)'=7ax^6+3x²

7ax^6+3x²<0
если а≥0 то 7ах^6≥0
7ах^6+3х²≥0;х€(-бес;+бес)
значит 7ах^6+3х²<0 не имеет решение

ответ а€[0;+бес)

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра а, при которых неравенство f'(x) < 0 не имеет действительных решений, нужно проанализировать производную функции f(x) = ax^7 + x^3 - 1 и условие её отрицательности.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (ax^7 + x^3 - 1) = 7ax^6 + 3x^2.

Шаг 2: Условие отрицательности производной:

Чтобы неравенство f'(x) < 0 не имело действительных решений, производная должна быть отрицательной для всех действительных значений x.

Таким образом, условие, при котором f'(x) < 0 для всех действительных x, можно записать как:

7ax^6 + 3x^2 < 0.

Шаг 3: Решение неравенства:

Неравенство содержит две переменные (a и x), и чтобы решить его, нужно рассмотреть различные случаи.

1. Когда a > 0:

   • Для x^6 всегда неотрицательно (так как это квадрат действительного числа).
   • Таким образом, чтобы левая часть была отрицательной, необходимо, чтобы 3x^2 было отрицательным.
   • Это возможно только при x = 0.
   • Таким образом, для всех a > 0, f'(x) < 0 не имеет действительных решений.

2. Когда a = 0:

   • В этом случае f'(x) = 3x^2.
   • f'(x) < 0 не имеет действительных решений только при x = 0.
   • Таким образом, для a = 0, f'(x) < 0 не имеет действительных решений.

3. Когда a < 0:

   • Для x^6 всегда неотрицательно.
   • Чтобы левая часть была отрицательной, необходимо, чтобы 3x^2 было отрицательным.
   • Это возможно только при x = 0.
   • Таким образом, для всех a < 0, f'(x) < 0 не имеет действительных решений.

Шаг 4: Вывод:

Итак, для всех значений a > 0, a = 0 и a < 0, неравенство f'(x) < 0 не имеет действительных решений.