Question

Вычеслить производную функции y= x√x^2-1

Answer 1

$y = x \times \sqrt{ {x}^{2} - 1 }$

Здесь нужно применить формулу " производная произведения " :

у' = ( u × v )' = u'v + v'u

Также нужно применить формулу сложной функции, например. у' = ( √х³ )' = 1/2√х³ × 3х²

Здесь нужно найти внешнюю производную, то есть производная от корня, и также найти внутреннюю производную , то есть производную от х³

y' = ( x × √( x² - 1 ) )' = x' × √( x² - 1 ) + x × ( √( x² - 1 ) )' =
$= 1 \times \sqrt{ {x}^{2} - 1 } + x \times \frac{1}{2 \sqrt{ {x}^{2} - 1 } } \times 2x = \sqrt{ {x}^{2} - 1} + \frac{ {x}^{2} }{ \sqrt{ {x}^{2} - 1} } = \\ \\ = \frac{2 {x}^{2} - 1 }{ \sqrt{ {x}^{2} - 1} }$

Answer 2

Y' =
$1 \times \sqrt{ {x}^{2} - 1} + x\times \frac{1}{2 \sqrt{ {x}^{2} - 1 } } \times 2x = \sqrt{ {x}^{2} - 1} + \frac{ {x}^{2} }{ \sqrt{ {x}^{2} - 1 } }$

Answer 3

Для вычисления производной функции y = x√(x^2 - 1) по переменной x, воспользуемся правилом производной произведения функций.

Правило производной произведения функций: Если u(x) и v(x) - две функции, то производная их произведения равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй.

Таким образом, для нашей функции y(x) = x√(x^2 - 1), представим её в виде произведения двух функций:

u(x) = x v(x) = √(x^2 - 1)

Теперь вычислим производные каждой из функций:

Производная первой функции u(x) = x по переменной x равна 1.

Производная второй функции v(x) = √(x^2 - 1) по переменной x можно вычислить с помощью цепного правила (chain rule):

(v(x))' = d/dx √(x^2 - 1) = 1 / (2√(x^2 - 1)) * d/dx (x^2 - 1) = 1 / (2√(x^2 - 1)) * (2x) = x / √(x^2 - 1)

Теперь, применяем правило производной произведения функций:

(y(x))' = (u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) = 1 * √(x^2 - 1) + x * (x / √(x^2 - 1)) = √(x^2 - 1) + x^2 / √(x^2 - 1)

Таким образом, производная функции y = x√(x^2 - 1) по переменной x равна √(x^2 - 1) + x^2 / √(x^2 - 1).