Question

Дан провоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и проведённой к ней медианой CM. Через центр L катета AC пересекается прямая, перпендикулярная AB, которая пересекает BC в точке N. Если ∠BAC=30° и LN=3,5 см, то периметр треугольника MBC равен: а)21 см б)17,5 см в)10,5 см г)5,25 см С подробным решением. Спасибо

Answer 1

такой рисунок? просто в условии про LN немного не то написано..

AM=BM=CM=NL=3,5 см

------------------

ОТВЕТ В)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся поэтапно:

1. Найдем длину медианы CM в треугольнике ABC.

Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине длины гипотенузы. Так как у нас угол BAC равен 30°, то треугольник ABC — равносторонний, и медиана CM является высотой и медианой одновременно.

Пусть AB = c — гипотенуза, и CM = h — медиана. Тогда, согласно теореме Пифагора для треугольника ABC:

c^2 = AC^2 + BC^2

Так как у нас равносторонний треугольник, то AC = BC = c/√2. Подставим это в уравнение:

c^2 = (c/√2)^2 + (c/√2)^2

c^2 = c^2/2 + c^2/2

c^2 = c^2

Мы видим, что уравнение верно, так что предположение о равносторонности треугольника верно.

Следовательно, медиана CM равна половине гипотенузы AB:

h = c/2

2. Найдем длину отрезка LC.

Поскольку L — центр катета AC, а NC — прямая, перпендикулярная AB, и LN — отрезок пересечения этих прямых, то LN является высотой треугольника LNC, опущенной из вершины L.

Так как L — центр катета AC, то LC = AC/2 = c/(2√2).

3. Найдем длину отрезка NB.

Отрезок NB представляет собой оставшуюся часть катета BC, то есть NB = BC - LN.

Так как у нас BC = AC = c/√2 и LN = c/(2√2), то:

NB = c/√2 - c/(2√2) = c/(2√2).

4. Найдем периметр треугольника MBC.

Теперь у нас есть все стороны треугольника MBC: MB, BC и MC.

Треугольник MBC — прямоугольный, так как медиана CM проведена к гипотенузе AB.

MB = MC = h = c/2 (медиана равностороннего треугольника)

BC = c/√2

Поэтому, периметр треугольника MBC равен:

Периметр MBC = MB + BC + MC = c/2 + c/√2 + c/2

Теперь, учитывая, что у нас LN = 3,5 см, нам нужно найти значение стороны гипотенузы AB.

5. Найдем длину гипотенузы AB.

Мы знаем, что LN является высотой прямоугольного треугольника MBC, опущенной из вершины M. Так как треугольник MBC прямоугольный, то LN является средним гармоническим для сторон MB и BC:

LN = 2 * (MB * BC) / (MB + BC)

Подставим известные значения:

3,5 = 2 * ((c/2) * (c/√2)) / ((c/2) + (c/√2))

Теперь решим уравнение относительно c:

3,5 = 2 * (c^2 / (2√2)) / (c + √2 * c)

3,5 = (c^2 / √2) / (c * (1 + √2))

3,5 = c / (√2 * (1 + √2))

Теперь найдем c:

c = 3,5 * √2 * (1 + √2)

c ≈ 5,253 см

Теперь мы можем найти периметр треугольника MBC:

Периметр MBC = c/2 + c/√2 + c/2 ≈ 5,253/2 + 5,253/√2 + 5,253/2 ≈ 2,626 + 3,716 + 2,626 ≈ 8,968 см

Ответ: г) 8,968 см