Question

При каком значении параметра a функция y = log0,5 (2x^2 + ax + 3) имеет максимум в точке x = −0,5. Основание логарифма 0,5.

Answer 1

функция у = log₀.₅(x) монотонно убывает для всех х>0,

т.е. чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции (и наоборот); нам нужен максимум, т.е. нужно найти наименьшее значение для аргумента... это у₀ --вершина параболы (у нее ветви вверх)

2x²+ax+3 > 0 ---> D=a²-24 < 0 ⇒ a∈(-2√6; 2√6)

x₀ = -b/(2a) = -a/4 = -0.5 ⇒ a=2

Answer 2

Для того чтобы найти значение параметра "a", при котором функция достигает максимума в точке x = -0,5, нужно воспользоваться производной функции.

Итак, у нас есть функция: y = log0,5(2x^2 + ax + 3)

Для удобства, обозначим базу логарифма 0,5 как b = 0,5. Таким образом, функция принимает вид: y = log_b(2x^2 + ax + 3)

Для того чтобы найти экстремумы функции (максимумы или минимумы), возьмем производную функции y по x и приравняем ее к нулю: y' = d/dx(log_b(2x^2 + ax + 3)) = 0

После вычисления производной функции и приравнивания ее к нулю, найдем значение параметра "a".

Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx(log_b(2x^2 + ax + 3))

Для вычисления производной логарифмической функции можно использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Если f(x) = log_b(u(x)), то f'(x) = u'(x) / (u(x) * ln(b)), где ln(b) - натуральный логарифм от b (основание логарифма).

2. Приравняем полученную производную к нулю и решим уравнение относительно параметра "a":

y' = 0 2x / (2x^2 + ax + 3) * ln(b) = 0

ln(b) не равен нулю (поскольку b > 0 и b ≠ 1), поэтому можно сократить его из уравнения:

2x / (2x^2 + ax + 3) = 0

Теперь мы знаем, что нам нужно найти значение параметра "a", при котором уравнение 2x / (2x^2 + ax + 3) = 0 имеет решение x = -0,5.

3. Решим уравнение для x = -0,5:

2 * (-0,5) / [2 * (-0,5)^2 + a * (-0,5) + 3] = 0

-1 / (0,5 - 0,5a + 3) = 0

Для того чтобы уравнение равнялось нулю в знаменателе необходимо, чтобы знаменатель был равен бесконечности (деление на ноль невозможно):

0,5 - 0,5a + 3 = 0

Теперь найдем значение "a":

3 - 0,5 = 0,5a 2,5 = 0,5a a = 2,5 / 0,5 a = 5

Таким образом, при a = 5 функция y = log0,5(2x^2 + ax + 3) имеет максимум в точке x = -0,5.