Question

Укажіть первісну функції f(x)=6x^2 , график якої проходить через точку B(-1;1)

Answer 1

інтегруючи задану функцію, отримуємо множину всіх первісних

$\int 6x^2dx=2x^3+C$

Тоді, підставляючи координати заданої точки в отриманий вираз (права частина буде y-функція), отримуємо значення константи С

$2\cdot(-1)^3+C=1;\\ C=1+2=3.$

Отже, шукана первісна

$y=2x^3+3$

Answer 2

Первісною функцією до заданої функції f(x) є функція F(x), що визначена як інтеграл від f(x) змінної x. У даному випадку, нам потрібно знайти функцію F(x), таку що F'(x) = 6x^2.

Щоб знайти F(x), застосуємо процедуру інтегрування:

∫(6x^2) dx

Здійснимо інтегрування кожного доданку почергово:

∫6x^2 dx = 6 ∫x^2 dx

Для інтегрування x^2 ми використаємо формулу для інтегралу степеневої функції:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, де C - константа інтегрування.

Таким чином:

6 ∫x^2 dx = 6 * (x^(2+1))/(2+1) + C = 2x^3 + C

Тепер нам потрібно знайти константу C. Ми можемо зробити це, знаючи, що графік функції проходить через точку B(-1, 1). Таким чином, маємо:

F(-1) = 2*(-1)^3 + C = 1

-2 + C = 1

C = 1 + 2 = 3

Отже, первісна функція F(x) для f(x) = 6x^2 із умовою, що графік проходить через точку B(-1, 1), буде:

F(x) = 2x^3 + 3