Question

17 баллов) Найдите сторону треугольника ВС, если АС равно 12 см, АВ=6 см, а биссектриса внешнего угла при вершине А пересекается со стороной СВ в точке К и ВК=8 см.

Answer 1

∠BAD - внешний углол при вершине А

Дополнительные построения:

отложим отрезок АD=6 см и соединим точки К и D

Теперь рассмотрим треугольники ADK и ABK

AD=AB - по построению

АК - общая; ∠DAK=∠BAK - так как АК - биссектриса (по условию)

Следовательно ΔADK=ΔAВK - по 1-му признаку ⇒ KD=KB=8; ∠DKA=∠AKB, значит в ΔDKC: AK-биссектриса

По свойству биссектрисы:

$\frac{AC}{AD} =\frac{CK}{DK} \\ \\ \frac{12}{6} =\frac{CK}{8} \\ \\ CK=16\\ \\ BC=CK-KB=16-8=8$

Ответ: 8 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой биссектрисы. Пусть стороны треугольника равны AB, BC и AC, а биссектриса внешнего угла при вершине A пересекает сторону BC в точке K. Тогда можно записать следующее:

BD/CD = AB/AC

Где BD - отрезок, на который биссектриса разделяет сторону BC, CD - оставшаяся часть стороны BC, AB и AC - известные стороны треугольника.

Теперь, зная, что AB = 6 см, AC = 12 см и ВК = 8 см, мы можем найти BK и KD:

BK = BC - ВК = BC - 8 KD = CD - CK = CD - (BC - BK) = CD - (BC - (BC - 8)) = CD - 8

Теперь можем записать уравнение для биссектрисы:

BK/KD = AB/AC (BC - 8)/(CD - 8) = 6/12

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (CD). Решим его:

(BC - 8)/(CD - 8) = 6/12 (BC - 8)/(CD - 8) = 1/2 2*(BC - 8) = CD - 8 2BC - 16 = CD - 8 2BC = CD + 8

Теперь, учитывая, что ВК = 8 см и BK = BC - 8, можем записать уравнение для стороны ВС:

ВК + КD = ВС 8 + (CD - 8) = ВС CD = ВС

Таким образом, мы получили уравнение:

2*BC = ВС + 8

Теперь, чтобы найти сторону ВС, нам необходимо узнать значение стороны BC. Для этого можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ВКС:

BC^2 = BK^2 + CK^2 BC^2 = (BC - 8)^2 + 6^2 BC^2 = BC^2 - 16BC + 64 + 36 0 = -16BC + 100 16*BC = 100 BC = 100/16 BC = 25/4

Теперь, зная значение стороны BC, можем найти сторону ВС:

2BC = ВС + 8 2(25/4) = ВС + 8 25/2 = ВС + 8 ВС = 25/2 - 8 ВС = 25/2 - 16/2 ВС = 9/2

Таким образом, сторона треугольника ВС равна 9/2 см или 4.5 см.