Question

Доказать тождество 1-sin^6z-cos^6z=3sin^2z*cos^2z Методом уравнения Т.е в итоге обе стороны должны быть равны

Answer 1

$1-\sin^6z-\cos^6z=1-(\sin^6z+\cos^6z)=1-(\underbrace{\sin^2 z+\cos^2 z}_{=1})\cdot\\ \\ \cdot (\sin^4z-\sin^2 z\cos^2 z+\cos^4z)=1-(\sin^4z+2\sin^2z\cos^2z+\cos^4z-\\ \\ -3\sin^2z\cos^2z)=1-((\underbrace{\sin^2z+\cos^2z}_{=1})^2-3\sin^2z\cos^2z)=\\ \\ =1-(1-3\sin^2z\cos^2z)=1-1+3\sin^2z\cos^2z=3\sin^2z\cos^2z$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, используем метод уравнения, что означает, что мы будем преобразовывать одну сторону тождества, пока она не примет вид другой стороны.

Дано тождество: 1 - sin^6(z) - cos^6(z) = 3sin^2(z) * cos^2(z)

Начнем с левой стороны тождества:

Левая сторона: 1 - sin^6(z) - cos^6(z)

Мы знаем, что sin^2(z) + cos^2(z) = 1 (тождество Пифагора для тригонометрических функций).

Также, мы можем использовать формулу (a^3 - b^3) = (a - b) * (a^2 + ab + b^2):

sin^6(z) = (sin^2(z))^3 cos^6(z) = (cos^2(z))^3

Применим формулу:

sin^6(z) = (sin^2(z))^3 = (sin^2(z) - cos^2(z)) * (sin^4(z) + sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z)) cos^6(z) = (cos^2(z))^3 = (cos^2(z) - sin^2(z)) * (cos^4(z) + sin^2(z)*cos^2(z) + sin^4(z))

Теперь вернемся к левой стороне:

Левая сторона: 1 - sin^6(z) - cos^6(z) = 1 - [(sin^2(z) - cos^2(z)) * (sin^4(z) + sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z))] - [(cos^2(z) - sin^2(z)) * (cos^4(z) + sin^2(z)*cos^2(z) + sin^4(z))]

Теперь упростим выражение:

= 1 - [sin^2(z)*sin^4(z) - sin^2(z)*cos^4(z) + sin^4(z)*cos^2(z) + sin^2(z)*cos^4(z) + cos^2(z)*cos^4(z) - cos^2(z)*sin^4(z)] = 1 - [sin^2(z)*sin^4(z) - sin^2(z)*cos^4(z) + sin^4(z)*cos^2(z) + sin^2(z)*cos^4(z) + cos^2(z)*cos^4(z) - cos^2(z)*sin^4(z)] = 1 - [sin^2(z)*sin^4(z) - sin^2(z)*cos^4(z) + sin^2(z)*cos^4(z) + cos^2(z)*cos^4(z) + sin^4(z)*cos^2(z) - cos^2(z)*sin^4(z)] = 1 - [0 + cos^2(z)*cos^4(z) + sin^4(z)*cos^2(z) - 0] = 1 - [cos^6(z) + sin^6(z)]

Теперь, используем тождество sin^6(z) + cos^6(z) = (sin^2(z) + cos^2(z))(sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z)):

1 - [cos^6(z) + sin^6(z)] = 1 - [(sin^2(z) + cos^2(z))(sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z))]

Помним, что sin^2(z) + cos^2(z) = 1:

1 - [(sin^2(z) + cos^2(z))(sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z))] = 1 - [(1)(sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z))]

Теперь упростим дальше:

1 - [(1)(sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z))] = 1 - [sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z)]

Теперь заметим, что sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z) = (sin^2(z) - cos^2(z))^2:

1 - [sin^4(z) - sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z)] = 1 - (sin^2(z) - cos^2(z))^2

Но мы знаем, что (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

1 - (sin^2(z) - cos^2(z))^2 = 1 - (sin^4(z) - 2*sin^2(z)*cos^2(z) + cos^4(z))

Теперь воспользуемся тождеством sin^2(z)*cos^2(z) = 1/4 * sin^2(2z):

1 - (sin^4(z) - 2*sin^2(z)cos^2(z) + cos^4(z)) = 1 - (sin^4(z) - 2(1/4 * sin^2(2z)) + cos^4(z))

Используем также тождество sin^4(z) + cos^4(z) = (sin^2(z) + cos^2(z))^2 - 2*sin^2(z)*cos^2(z):

1 - (sin^4(z) - 2*(1/4 * sin^2(2z)) + cos^4(z)) = 1 - ((sin^2(z) + cos^2(z))^2 - 2*sin^2(z)cos^2(z) - 2(1/4 * sin^2(2z)))

Теперь, заменим sin^2(z) + cos^2(z) на 1:

1 - ((sin^2(z) + cos^2(z))^2 - 2sin^2(z)cos^2(z) - 2(1/4 * sin^2(2z))) = 1 - ((1)^2 - 2sin^2(z)cos^2(z) - 2(1/4 * sin^2(2z)))

Упростим еще:

1 - ((1)^2 - 2*sin^2(z)*cos^2(z) -