Question

Доказать тождество tg^2a-sin^2a=sin^2a*tg^2a

Answer 1

$\tt tg^2\alpha-\sin^2\alpha=\sin^2\alpha\cdot\bigg(\dfrac{1}{\cos^2\alpha}-1\bigg)=\sin^2\alpha\cdot\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\\ \\ \\ =\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\sin^2\alpha tg^2\alpha$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся определениями тригонометрических функций.

Запишем тождество, которое нам нужно доказать:

tg^2(a) - sin^2(a) = sin^2(a) * tg^2(a)

Первым шагом преобразуем левую часть уравнения, используя определение тангенса и синуса:

tg^2(a) - sin^2(a) = (sin^2(a) / cos^2(a)) - sin^2(a)

Теперь приведем дробь в числителе к общему знаменателю:

tg^2(a) - sin^2(a) = (sin^2(a) - sin^2(a) * cos^2(a)) / cos^2(a)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(a) - sin^2(a) * cos^2(a) = sin^2(a) * (1 - cos^2(a)):

tg^2(a) - sin^2(a) = sin^2(a) * (1 - cos^2(a)) / cos^2(a)

Теперь заметим, что 1 - cos^2(a) равно sin^2(a):

tg^2(a) - sin^2(a) = sin^2(a) * sin^2(a) / cos^2(a)

Используем определение тангенса еще раз, чтобы заменить sin^2(a) / cos^2(a) на tg^2(a):

tg^2(a) - sin^2(a) = sin^2(a) * tg^2(a)

Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать:

tg^2(a) - sin^2(a) = sin^2(a) * tg^2(a)

Тождество доказано.