Question

При каких а сумма корней уравнения x2+2a(x-1)+2=0 равна сумме квадратов этих корней

Answer 1

Пусть х¹ и х² - корни данного квадратного уравнения
x^2+2a(x-1)+2=0
х^2+2ах+(2-2а)=0

по условию
х¹+х²=(х¹)²+(х²)² [ 1 ]

т.Виетта для этого уравнения
имеет вид
х¹+х²= -2а. [2]
х¹•х²=2-2а

(х¹)²+(х²)²=(х¹+х²)²-2х¹•х²=
=(-2а)²-2(2-2а)=4а²+4а-4 [3]

подставляем в [1]
полученные выражения из [2] и [3]


-2а=4а²+4а-4

4а²+6а-4=0
2а²+3а-2=0

откуда получаем
а¹'²= ¼( -3±5)

а¹= -2
а²= ½

Ответ при а¹= -2 или а²= ½

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение x^2 + 2a(x - 1) + 2 = 0, где a - некоторое действительное число.

Пусть корни этого уравнения равны x1 и x2. Тогда сумма корней равна:

x1 + x2 = -2a ... (1)

А сумма квадратов корней равна:

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2

Поскольку мы уже знаем, что x1 + x2 = -2a, подставим это значение:

x1^2 + x2^2 = (-2a)^2 - 2x1x2

x1^2 + x2^2 = 4a^2 - 2x1x2 ... (2)

Теперь мы хотим, чтобы сумма корней уравнения (1) была равна сумме квадратов корней уравнения (2). То есть:

x1 + x2 = x1^2 + x2^2

-2a = 4a^2 - 2x1x2

Теперь найдем значение параметра a, для которого это уравнение выполняется:

4a^2 - 2x1x2 + 2a = 0

2a(2a - x1x2 + 1) = 0

Так как a может быть любым действительным числом, то рассмотрим два случая:

1. 2a = 0 Это приводит к a = 0. В этом случае уравнение x^2 + 2a(x - 1) + 2 = 0 принимает вид x^2 + 2(0)(x - 1) + 2 = x^2 + 2 = 0. Имеем корни x = ±√2. Проверим условие:

   x1 + x2 = (√2) + (-√2) = 0 x1^2 + x2^2 = (√2)^2 + (-√2)^2 = 2 + 2 = 4

   Условие выполняется: 0 = 4.

2. 2a - x1x2 + 1 = 0 В этом случае условие будет выполняться для различных пар корней x1 и x2, так как уравнение 2a - x1x2 + 1 = 0 может быть удовлетворено разными значениями x1 и x2 при фиксированном a.

Итак, ответ: сумма корней уравнения x^2 + 2a(x - 1) + 2 = 0 равна сумме квадратов этих корней при a = 0 или для некоторых других пар значений корней, которые удовлетворяют уравнению 2a - x1x2 + 1 = 0.