Question

Решить показательное уравнение x^3=(1/3)^x+1

Answer 1

3ˣ = a, a > 0

a = 1/a + 1 |*a

a² - a - 1 = 0

D = 1 + 4 = 5

a₁ = (1 - √5)/2 < 0 - не подходит

а₂ = (1 + √5)/2 - единственный корень

3ˣ = (1 + √5)/2

x = log_(3)((1+√5)/2) (3 - основание) - единственное решение

Answer 2

Для решения показательного уравнения x^3 = (1/3)^(x+1), нужно найти численное значение x, которое удовлетворяет данному уравнению. К сожалению, показательные уравнения обычно не имеют аналитических решений, и решение может быть найдено только численно или с помощью графических методов.

Давайте воспользуемся численным методом для приближенного нахождения решения этого уравнения. Для этого воспользуемся методом итераций (итерационным методом).

1. Преобразуем уравнение: x^3 = (1/3)^(x+1) x^3 = 1 / (3^(x+1))

2. Запишем уравнение в виде: f(x) = x^3 - 1 / (3^(x+1)) = 0

3. Используем итерационный метод: x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n) где f'(x) - производная функции f(x)

4. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 + (1/3)^(x+1) * ln(1/3) * (-1)

Теперь, давайте выполнять итерации для нахождения значения x.

Итерация 1: Выберем начальное значение x_0 = 1 f(x_0) = 1^3 - 1 / (3^(1+1)) = 1 - 1 / (3^2) = 1 - 1/9 = 8/9 f'(x_0) = 3*1^2 + (1/3)^(1+1) * ln(1/3) * (-1) = 3 - (1/3) * ln(1/3) ≈ 2.766

x_1 = x_0 - (8/9) / 2.766 ≈ 1 - 0.2892 ≈ 0.7108

Итерация 2: x_1 ≈ 0.7108 f(x_1) ≈ 0.1037 f'(x_1) ≈ 2.8745

x_2 = x_1 - (0.1037) / 2.8745 ≈ 0.7108 - 0.036 ≈ 0.6748

Итерация 3: x_2 ≈ 0.6748 f(x_2) ≈ -0.0024 f'(x_2) ≈ 2.7865

x_3 = x_2 - (-0.0024) / 2.7865 ≈ 0.6748 + 0.0009 ≈ 0.6757

Итерация 4: x_3 ≈ 0.6757 f(x_3) ≈ -5.39e-7 f'(x_3) ≈ 2.7888

x_4 = x_3 - (-5.39e-7) / 2.7888 ≈ 0.6757 + 1.93e-7 ≈ 0.6757

Мы получили приближенное решение уравнения: x ≈ 0.6757