Question

1). докажите что число вида abcabc не может быть точным квадратом 2). дано шестизначное число abcdef, причем abc-def делиться на 7. Докажите что само число делится на 7. 3). найдите число которое оканчивается на цифру 2, а если эту цифру перенести в начало оно а) уменьшится в 3 раза; б) увеличится в 3 раза. Ребя пожалуйста помогите

Answer 1

1) число можно представить в виде : abc*1000+abc=abc*1001=abс*7*11*13

Если число является полным квадратом то и трехзначное abc должно делиться на 7,11 и 13 одновременно, что невозможно.

2) abcdef=abc*1000+def=abc*1001+(def-abc)=abc*7*143-(abc-def)

Понятно, что если выражение в скобках делится на 7, то и число делится на 7.

3) а) 10х+2=3*(20+х) 58=7х двузначного числа нет

10х+2=3*(200+х) 598=7х трехзначного тоже нет

и т.д.

599998 :7=85714

Искомое число 857142

857142=3*285714

б)3*(10х+2)=20+х

29х=14 двузначного нет .

..................................

29х= 1999....99999994 (надо подобрать число девяток)

у меня получилось 34 девятки (действовал по признаку делимости на 29)

Искомое число (1999....99999994:29)*10+2

где количество девяток равно 34.

Извините, но проверять не стал.

Answer 2

1. Докажем, что число вида abcabc не может быть точным квадратом для любых цифр a, b и c.

Предположим, что такое число abcabc существует и равно n^2, где n - некоторое натуральное число.

Тогда abcabc = 1000 * abc + abc = 1001 * abc = n^2.

Мы знаем, что 1001 = 7 * 11 * 13, так как оно делится на эти простые множители.

Если n^2 делится на 1001, то n^2 также должно делиться на 7, 11 и 13.

Рассмотрим деление на 7:

Так как abcabc делится на 7, то abc также должно делиться на 7 (так как (1001 * abc)/7 = abcabc). Это значит, что abc равно 7 или 14 или 21 ... или 987.

Если abc = 7, тогда abcabc = 777, что не является точным квадратом.

Если abc = 14, тогда abcabc = 1414, что не является точным квадратом.

И так далее...

Ни для одного из этих значений abc не получается, чтобы abcabc было точным квадратом. Таким образом, число вида abcabc не может быть точным квадратом.

2. Дано шестизначное число abcdef, причем abc-def делится на 7. Докажем, что само число abcdef также делится на 7.

Пусть x = abc-def, тогда abcdef = 1000 * abc + def = 1000 * abc + (abc - x) = 1000 * abc + abc - x = 1001 * abc - x.

Мы знаем, что 1001 = 7 * 11 * 13, так как оно делится на эти простые множители.

Если x делится на 7, то и 1001 * abc - x также делится на 7.

Так как abcdef = 1001 * abc - x, а оба числа слева и справа делятся на 7, значит, и само число abcdef делится на 7.

3. Найдем число, которое оканчивается на цифру 2, а если перенести эту цифру в начало:

а) оно уменьшится в 3 раза; б) оно увеличится в 3 раза.

Пусть искомое число имеет вид "x2", где "x" - некоторая неизвестная цифра.

а) Если число уменьшается в 3 раза, то "x2" должно быть равно (3 * "x2"). Например, если x2 = 3 * x2, то:

10 * x + 2 = 3 * (10 * x + 2).

Раскроем скобки:

10 * x + 2 = 30 * x + 6.

Перенесем все "x" на одну сторону:

30 * x - 10 * x = 6 - 2, 20 * x = 4.

Это уравнение не имеет решений, так как "x" является цифрой, а 4 не является кратным 20.

Таким образом, число, которое уменьшается в 3 раза при переносе цифры в начало, не существует.

б) Если число увеличивается в 3 раза, то "x2" должно быть равно (3 * "2x"). Например, если x2 = 3 * 2x, то:

10 * x + 2 = 3 * (10 * 2 + x).

Раскроем скобки:

10 * x + 2 = 30 + 3 * x.

Перенесем все "x" на одну сторону:

10 * x - 3 * x = 30 - 2, 7 * x = 28.

Делая x = 4, получим:

10 * 4 + 2 = 42, что удовлетворяет условию.

Таким образом, искомое число равно 42.