Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ! Определите количество корней уравнения sinx=a на промежутке (-П/6 ; 2П/3] в зависимости от значения параметра а.

Answer 1

При х от -π/6 до нуля - корней всегда один (а отрицательно). Значение синуса достигает максимума при х=0,5*π. Тогда двойные корни возможны в диапазоне от 0,5*π до 2*π/3 (интервал равен 2*π/3-0,5*π≈0,524 радиан) в большую сторону и от 0,5*π до 0,5*π-0,524≈1,047 радиан, в котором значения а от sin(2*π/3) до 1 .При х от нуля до 1, 047 радиан (диапазон а от нуля до sin(2*π/3) также всего один корень.

Answer 2

Для определения количества корней уравнения sin(x) = a на промежутке $(- \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$, нам необходимо рассмотреть значения параметра $a$.

Уравнение sin(x) = a имеет корни, если значение $a$ лежит в диапазоне [-1, 1]. В этом интервале синус является биекцией, и для каждого значения $a$ из этого диапазона, существует единственное значение $x$, удовлетворяющее уравнению.

Теперь рассмотрим интервал $(- \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$. Для этого интервала, давайте выясним, сколько корней может быть, в зависимости от значения $a$.

1. Когда $a > 1$ или $a < -1$: На этом интервале синус никогда не принимает значения $a$, так как синус всегда лежит в диапазоне [-1, 1]. Следовательно, уравнение sin(x) = a не имеет корней.

2. Когда $a = 1$ или $a = -1$: В этом случае, уравнение принимает вид sin(x) = 1 или sin(x) = -1. На указанном интервале $(- \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$, уравнение sin(x) = 1 имеет один корень x = $\frac{\pi}{2}$ и уравнение sin(x) = -1 также имеет один корень x = $\frac{3\pi}{2}$.

3. Когда -1 < a < 1: В этом случае, для каждого значения $a$ из этого интервала, уравнение sin(x) = a имеет ровно два корня на указанном промежутке.

Таким образом, подытожим:

• Если $a > 1$ или $a < -1$, уравнение sin(x) = a не имеет корней на интервале $(- \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$.
• Если $a = 1$ или $a = -1$, уравнение sin(x) = a имеет по одному корню на интервале $(- \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$.
• Если -1 < $a$ < 1, уравнение sin(x) = a имеет по два корня на интервале $(- \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$.