Question

Может ли число в записи которого все цифры равны 2 делится на целое число в записи которых все цифры равны 1 и 5

Answer 1

1) могут, каждое число делить на единицу равно самому числу.

2) не могут, на 5 делятся без остатка те числа, которые заканчиваются пятеркой или нулем

Answer 2

Предположим, что число, в записи которого все цифры равны 2, равно 222...2 (n двоек), и число, в записи которого все цифры равны 1 и 5, равно 111...1555...5 (m единиц и n пятерок).

Таким образом, число, в записи которого все цифры равны 2, можно записать как 2 * (10^n - 1) / 9.

А число, в записи которого все цифры равны 1 и 5, можно записать как (10^m - 1) / 9 * 5 * 10^n.

Теперь мы хотим узнать, делится ли число, состоящее только из двоек, на число, состоящее только из единиц и пятерок:

(2 * (10^n - 1) / 9) / ((10^m - 1) / 9 * 5 * 10^n)

После сокращения дробей, получаем:

(2 * (10^n - 1)) / ((10^m - 1) * 5)

Для того чтобы это отношение было целым числом, числитель должен делиться на числитель, и знаменатель должен делиться на знаменатель.

Чтобы числитель был делителем числителя, значение n должно быть меньше или равно m (n ≤ m).

Чтобы знаменатель был делителем знаменателя, значение n должно быть больше или равно m (n ≥ m).

Таким образом, чтобы число, состоящее только из двоек, делилось на целое число, состоящее только из единиц и пятерок, значение n должно быть одновременно меньше или равно m и больше или равно m. Но такого значения n не существует.

Поэтому нет таких целых чисел, в записи которых все цифры равны 2, и которые делятся на целое число, в записи которых все цифры равны 1 и 5.