Question

Высоты остроугольного равнобедренного треугольника ABC(AB=BC) пересекаются в точке H.Если высота AD этого треугольника равна 7, AH=4, то квадрат стороны AC равен. Решение

Answer 1

ПЕРВЫЙ СПОСОБ:
▪ тр. АHE подобен тр. ACD по двум углам ( угол А - общий ; угол АЕН = угол АСD = 90°)
▪Составим отношения сходственных сторон:
AE / AD = AH / AC = HE / DC
AE = ( 1/2 ) • AC
Получаем следующее:

AE • АС = AD • AH
( 1/2 ) • AC • AC = AD • AH
( 1/2 ) • AC^2 = AD • AH
( 1/2 ) • AC^2 = 7 • 4
AC^2 = 56

ВТОРОЙ СПОСОБ:
▪В тр. АНЕ: cos A = AE / AH
▪В тр. АСD: cos A = AD / AC
Косинусы одних и тех же углов равны:
AE / AH = AD / AC
AE • AC = AD • AH
AE = ( 1/2 ) • AC
( 1/2 ) • AC • AC = AD • AH
( 1/2 ) • AC^2 = AD • AH
( 1/2 ) • AC^2 = 7 • 4
AC^2 = 56


ОТВЕТ: 56

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся свойствами остроугольного равнобедренного треугольника.

1. Остроугольный равнобедренный треугольник: это треугольник, у которого все углы острые и две стороны равны.

2. Свойство высоты остроугольного треугольника: пересекаясь, высоты разбивают его на три равнобедренных треугольника.

Дано: Высота AD = 7, AH = 4.

Заметим, что треугольник ADH - это равнобедренный треугольник, так как AD и AH - это высота и медиана треугольника ABC, соответственно, и они равны (поскольку треугольник ABC равнобедренный). Таким образом, DH = AH = 4.

Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он также является равнобедренным, так как у него стороны AC и AH равны (по свойству равнобедренного остроугольного треугольника). Значит, HC = AH = 4.

Теперь мы знаем длины всех сторон равнобедренных треугольников: AD = 7, AH = 4, и HC = 4.

Так как высоты разбивают треугольник на равнобедренные треугольники, то мы можем записать следующее равенство:

AC = AD + HC

Теперь подставим известные значения:

AC = 7 + 4 AC = 11

И, наконец, квадрат стороны AC:

(AC)^2 = 11^2 (AC)^2 = 121

Ответ: квадрат стороны AC равен 121.