Question

Найдите объединение всех окружностей, которые проходят через 2 заданные точки.

Answer 1

Возьмем окружность, которая проходит через 2 точки. Увеличивая радиус в бесконечность, окружность будет заполнять все больше и больше, а дуга между точками будет все больше и больше распрямляться. В итоге, окружность будет в пределе заполнять всю полуплоскость. Так же делаем с другой стороны.

Так как мы ищем объединение ВСЕХ окружностей, то получаем, что это объединение равно RxR

Answer 2

Объединение всех окружностей, которые проходят через две заданные точки, представляет собой множество всех возможных окружностей, центры которых лежат на перпендикулярной биссектрисе отрезка, соединяющего эти две точки.

Для того чтобы найти такое объединение, выполните следующие шаги:

1. Найдите середину отрезка, соединяющего две заданные точки. Пусть эта точка будет называться (x_m, y_m).

2. Найдите уравнение перпендикулярной биссектрисы этого отрезка. Для этого найдите уравнение прямой, проходящей через точку (x_m, y_m) и имеющей противоположный угловой коэффициент относительно отрезка между заданными точками. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки (x_1, y_1) и (x_2, y_2), равен (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1). Таким образом, угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет -1 / ((y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)).

3. Найдите уравнение окружности с центром на перпендикулярной биссектрисе и проходящей через одну из заданных точек (x_1, y_1). Радиус этой окружности равен расстоянию от центра до заданной точки.

4. Полученное уравнение окружности будет иметь вид (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2, где (x_c, y_c) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

5. Повторите шаги 3 и 4 для другой заданной точки (x_2, y_2).

6. Множество всех окружностей, проходящих через две заданные точки, будет представлять собой объединение уравнений окружностей из шагов 4 и 5.

Заметим, что некоторые окружности могут быть совпадающими, если расстояние между заданными точками равно диаметру окружности.