Question

1.Решите (4+5i) Результат перевести в тригонометрическую форму и изобразить в виде вектора 2.Найти корни z³+27=0 результат изобразить графически 3.Найти √i-1

Answer 1

решение на фото внизу

Answer 2

1. Решение для (4+5i) в тригонометрической форме и изображение в виде вектора: Для того чтобы представить комплексное число в тригонометрической форме, нужно найти его модуль и аргумент.

a) Найдем модуль (расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости): |4 + 5i| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41.

b) Найдем аргумент (угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим начало координат и точку на комплексной плоскости): θ = arctan(5/4) ≈ 48.37°.

Теперь представим число в виде: z = |z| * cos(θ) + i * |z| * sin(θ).

z = √41 * cos(48.37°) + i * √41 * sin(48.37°).

2. Найдем корни уравнения z³ + 27 = 0 и изобразим их графически: z³ + 27 = 0.

a) Найдем корни: z³ = -27.

Теперь используем формулу Муавра для представления комплексных корней в тригонометрической форме.

z = |z| * cos(θ + 2πk) + i * |z| * sin(θ + 2πk).

где k - целое число, а θ - аргумент числа (-27 в данном случае).

|z| = ∛|-27| = ∛27 = 3.

θ = arctan(0/(-3)) = 0° (заметим, что аргумент равен нулю, так как действительная часть равна нулю).

Теперь найдем комплексные корни, подставив различные значения k:

k = 0: z₁ = 3 * cos(0°) + i * 3 * sin(0°) = 3 + 0i = 3. k = 1: z₂ = 3 * cos(360°) + i * 3 * sin(360°) = 3 + 0i = 3. k = 2: z₃ = 3 * cos(720°) + i * 3 * sin(720°) = 3 + 0i = 3.

Все три корня равны 3 и лежат на действительной оси комплексной плоскости.

3. Найдем √(i-1):

Для удобства, представим √(i-1) в тригонометрической форме. Сначала найдем модуль и аргумент этого числа:

a) Найдем модуль: |√(i-1)| = √(|i-1|) = √(1² + (-1)²) = √2.

b) Найдем аргумент: θ = arctan((-1)/1) = -45° (обратите внимание, что выбрана отрицательная ветвь аргумента, чтобы лежать в третьем квадранте).

Теперь представим число в виде: z = |z| * cos(θ) + i * |z| * sin(θ).

√(i-1) = √2 * cos(-45°) + i * √2 * sin(-45°).