Question

Умная Влада задумала натуральное число. Каждую минуту она прибавляла к нему его предпоследнюю цифру. Через 99 минут она получила 56789. Докажите, что девочка ошиблась. Прошу помогите! Это высшая математика! Даю 25 баллов!!! (С обьяснением)

Answer 1

Если в какой-то момент предпоследняя цифра станет нулём, дальше считать Влада не сможет. Не стать нулём в какой-то момент цифра тоже не может (99 + (9) < 110). Каждую минуту число увеличивается не меньше, чем на 1 (если предпоследняя цифра - не 0), изначальное число оканчивалось не меньше, чем на 10, значит, через 99 операций к числу прибавится не меньше, чем 99, значит, в какой-то момент предпоследняя цифра стала нулём, после чего число не изменится вообще. А предпоследняя цифра получившегося числа - не 0, значит, Влада где-то ошиблась.

Answer 2

Для доказательства того, что Влада ошиблась, давайте сначала рассмотрим процесс, который она выполняла каждую минуту.

Пусть число, которое задумала Влада, обозначим как N. Первоначально она задумала натуральное число N. Затем она каждую минуту прибавляла к нему его предпоследнюю цифру (последние цифры числа).

Давайте разберем процесс на несколько шагов:

1. Шаг 1: N
2. Шаг 2: N + (предпоследняя цифра N)
3. Шаг 3: N + (предпоследняя цифра N) + (предпоследняя цифра (N + (предпоследняя цифра N)))

Далее повторяем этот процесс 99 раз, и на последнем шаге получаем число 56789.

Теперь давайте предположим, что число N состоит из n цифр. Обозначим его как N = a_{n}a_{n-1}...a_{2}a_{1}, где a_{n} - самая левая цифра (наибольшая разрядность), а a_{1} - самая правая цифра (наименьшая разрядность).

Тогда после первого шага получаем число N + a_{n-1}. После второго шага, получаем число (N + a_{n-1}) + a_{n-2} = N + a_{n-1} + a_{n-2}. Продолжая этот процесс, после 99 шагов получим следующее число:

N + a_{n-1} + a_{n-2} + ... + a_{3} + a_{2} + a_{1} = X

Теперь давайте рассмотрим сумму всех цифр числа N:

Сумма цифр числа N = a_{n} + a_{n-1} + ... + a_{3} + a_{2} + a_{1} = Y

Таким образом, число X, которое получается после 99 шагов, равно N + Y.

Теперь посмотрим на число 56789. Его сумма цифр равна:

5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

Теперь предположим, что Влада не ошиблась, и число X, которое она получила после 99 шагов, равно 56789:

X = 56789

Тогда N + Y = 56789

Но мы знаем, что сумма всех цифр числа N равна Y, а сумма цифр числа 56789 равна 35. Таким образом, у нас имеется следующее равенство:

N + Y = 56789

Y = 35

Следовательно,

N + 35 = 56789

N = 56789 - 35 = 56754

Таким образом, получается, что число N равно 56754, а не 56789. Это означает, что Влада ошиблась, и задуманное ей число равно 56754, а не 56789.

Итак, мы доказали, что девочка Влада ошиблась в своем решении.