Question

Помогите пожалуйста, уже 3 дня не могу понять: Докажите методом математической индукции, что: 1) 0∧n = 0 для любого натурального n;w 2) если 0 ≤ a < b, то a∧n < b∧n для любого натурального n; 3) a∧n b∧n = (ab)∧n для любого натурального n; 4) (a∧n)∧m = a∧nm для любых натуральных m и n.

Answer 1

Доказательство проводится в 3 шага.
1 пример. 1шаг- проверяем при n=1: 0^1=0 -верно;
2шаг- предполагаем, что исходное (т.е. 0^n=0) верно при n=k, k€N: 0^k=0 -верное
3 шаг- доказываем, что равенство верно и при n=k+1: 0^(k+1)=0^k•0^1=0•0=0 - первый сомножитель верный 0 согласно п.2, второй согласно п.1, значит 0^n=0 верно для любого натурального n, ч.т.д.
2 пример. 1) при n=1 a^1<b^1, а<b -выполняется;
2) полагаем, что при n=k a^k<b^k тоже выполняется
3) проверяем при n=k+1: a^(k+1)<b^(k+1), a^k•a^1<b^k•b^1, а^k•а<b^k•b
Согласно свойству неравенства одинаковых знаков с положительными членами можно почленно умножать и делить, следовательно, полученное неравенство верное для n=k+1, значит и для любого n. ч.т.д.
3 пример 1) n=1, a^1•b^1=a•b=(ab)^1 верно;
2) полагаем, что при n=k a^k•b^k=(ab)^k -верное;
3) проверяем при n=k+1, используя свойства показателей: a^(k+1)•b^(k+1)= a^k•a^1•b^k•b^1= (ab)^k•(ab)^1 сомножители верны согласно п.2 и п.1, значит для любого натурального n a^n•b^n=(ab)^n, ч.т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов и докажем их по методу математической индукции:

1. Докажем, что 0∧n = 0 для любого натурального n.

Базовый шаг (n = 1): 0∧1 = 0 (по определению степени нуля)

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k: 0∧k = 0

Теперь докажем для n = k + 1: 0∧(k+1) = 0∧k * 0 = 0 * 0 = 0

Таким образом, утверждение верно для всех натуральных n.

2. Докажем, что если 0 ≤ a < b, то a∧n < b∧n для любого натурального n.

Базовый шаг (n = 1): a∧1 = a, b∧1 = b, так как a < b, то a∧1 < b∧1.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k: a∧k < b∧k

Теперь докажем для n = k + 1: a∧(k+1) = a∧k * a, b∧(k+1) = b∧k * b

Так как a∧k < b∧k (по предположению индукции) и 0 ≤ a < b, то a∧k * a < b∧k * b.

Таким образом, утверждение верно для всех натуральных n.

3. Докажем, что a∧n * b∧n = (a*b)∧n для любого натурального n.

Базовый шаг (n = 1): a∧1 * b∧1 = a * b = (a * b)∧1

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k: a∧k * b∧k = (a*b)∧k

Теперь докажем для n = k + 1: a∧(k+1) * b∧(k+1) = (a∧k * a) * (b∧k * b) = (a∧k * b∧k) * (a * b) = ((a * b)∧k) * (a * b) = (a * b)∧(k+1)

Таким образом, утверждение верно для всех натуральных n.

4. Докажем, что (a∧n)∧m = a∧(n*m) для любых натуральных m и n.

Базовый шаг (m = 1): (a∧n)∧1 = a∧n (по определению степени)

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого m = k: (a∧n)∧k = a∧(n*k)

Теперь докажем для m = k + 1: (a∧n)∧(k+1) = (a∧n)∧k * (a∧n) = (a∧(nk)) * (a∧n) = a∧((nk) + n) = a∧(n*(k+1))

Таким образом, утверждение верно для всех натуральных m и n.

Таким образом, мы успешно доказали все утверждения методом математической индукции.