Question

Дано натуральное число, кратное 495. Между его цифрами вставили два нуля подряд. Докажите, что полученное число тоже делится на 495.

Answer 1

495=5 · 9 · 11 ,  последняя цифра числа не изменится ( 0 или 5 ) ⇒ полученное число кратно 5 , не изменится сумма его цифр (18 ) ⇒ полученное число будет кратно 9 , на четных и нечетных местах будут стоять те же цифры ( один ноль займет четное место , другой -нечетное ) ⇒ не изменятся суммы цифр , стоящих на четных и нечетных местах  и не изменится разность между этими суммами ⇒ полученное число будет кратно 11 , а если число кратно 5 , 9 и 11 , то оно делится на 495

Answer 2

Давайте рассмотрим натуральное число, которое кратно 495. Пусть это число представляется в виде:

N = abc...xyz (где a, b, c, ..., x, y, z - цифры, исходного числа)

Так как данное число кратно 495, то оно делится и на 5, и на 9, и на 11 (поскольку 495 = 5 * 9 * 11).

Теперь между его цифрами вставили два нуля подряд:

M = a00b00c...00x00y00z

Мы хотим доказать, что M также делится на 495. Для этого докажем, что M делится на 5, 9 и 11.

1. Деление на 5: Так как N делится на 5, то последняя цифра z (последняя цифра исходного числа) является нулем (5, 15, 25, 35, ...). Тогда последняя цифра в числе M также является нулем, что означает, что M делится на 5.

2. Деление на 9: Так как N делится на 9, то сумма его цифр также делится на 9. А так как M получается путем вставки двух нулей между каждой цифрой числа N, то сумма цифр числа M будет в два раза больше суммы цифр числа N. Следовательно, сумма цифр числа M также делится на 9, что означает, что M делится на 9.

3. Деление на 11: Так как N делится на 11, то разность между суммой цифр, стоящих на четных позициях, и суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, также делится на 11. При вставке двух нулей между каждой цифрой числа N, это свойство остается верным для числа M. Следовательно, M также делится на 11.

Таким образом, мы доказали, что число M, полученное из числа N путем вставки двух нулей подряд между его цифрами, также делится на 5, 9 и 11 (число 495 делится на 5, 9 и 11). Следовательно, M делится на 495.