Question

Света и Юля переставляют цифры в числах. Это настолько увлекательно, что иногда они забывают с какого числа они начали перестановку. Но они помнят, что они взяли число вида: 7** и переставили первую цифру на последнее место, то есть получили **7. Так же они помнят, что разница большего и меньшего чисел равна квадрату 12. Какое было число изначально?

Answer 1

Было число 700 + 10a + b, а стало 100a + 10b + 7.

И это число то ли на 144 больше, то ли на 144 меньше первого числа.

1) 700 + 10a + b - 144 = 100a + 10b + 7

b - 4 = 7, значит, b = 1, и был заем 1 из десятков.

(a + 1) - 4 = b = 1; a = 6

7 - 1 = a = 6 - подходит.

Это число 761

2) 700 + 10a + b + 144 = 100a + 10b + 7

b + 4 = 7; b = 3

a + 4 = 3; a = 9 и был перенос в сотни.

7 + 1 + 1 = a = 9 - подходит.

Это число 793.

Answer 2

Давайте предположим, что исходное число изначально было записано как 7ab (где a и b - какие-то неизвестные цифры). После перестановки, они получили число ab7.

Теперь у нас есть два числа: 7ab и ab7. Разница между ними равна квадрату числа 12:

ab7 - 7ab = 12^2

Чтобы решить это уравнение, давайте представим числа ab7 и 7ab как числа в десятичной системе:

ab7 = 100a + 10b + 7 7ab = 700 + 10a + b = 100a + b + 7

Теперь мы можем записать уравнение:

(100a + b + 7) - (100a + 10b + 7) = 12^2

Упростим его:

100a + b + 7 - 100a - 10b - 7 = 144

Теперь у нас остается уравнение:

b - 10b = 144

-9b = 144

b = -16

Поскольку b не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решения. Отсюда следует, что наше предположение о том, что исходное число было записано как 7ab, неверно.

Давайте попробуем другое предположение. Пусть исходное число было записано как a7b. После перестановки, они получили число ba7.

Теперь у нас есть два числа: a7b и ba7. Разница между ними равна квадрату числа 12:

ba7 - a7b = 12^2

Теперь, аналогично предыдущему случаю, представим числа a7b и ba7 как числа в десятичной системе:

a7b = 100a + 7 + 10b ba7 = 100b + 10a + 7

Теперь мы можем записать уравнение:

(100b + 10a + 7) - (100a + 7 + 10b) = 12^2

Упростим его:

100b + 10a + 7 - 100a - 7 - 10b = 144

Теперь у нас остается уравнение:

10b - 10a = 144

b - a = 14

Таким образом, разница между цифрами b и a равна 14.

Теперь давайте рассмотрим все возможные пары цифр (b, a), где разница равна 14:

(b, a) = (9, -5), (8, -6), (7, -7), (6, -8), (5, -9)

Мы видим, что единственная пара, которая подходит, это (b, a) = (9, -5). Это означает, что b = 9 и a = 9 - 14 = -5.

Однако, заметим, что цифры не могут быть отрицательными. Значит, это предположение также неверно.

Таким образом, мы не можем найти исходное число, удовлетворяющее условиям задачи. Возможно, в условии есть ошибка, или некоторых данных недостаточно для решения задачи.