Question

Даю 50 баллов за решение Определите число решений системы { (a + 3)x + 4y = 5 - 3a, 2x + (5 + a)y = 8 в зависимости от значений параметра a

Answer 1

{(а+3)х+4у=5-3а
{2х+(5+а)у=8

1)(а+3)/2=4/(5+а)=(5-3а)/8
4(а+3)=2(5+а)
4а+12=10+2а
2а=-2
а=-1
4/(5+а)=(5-3а)/8
4/4=(5+3)/8
1=1
если а=-1 то у системы есть бесконечн.
решения

2)к1=К2 нет решения
к1=(а+3)/(-4)
К2=2/-(5+а)
(а+3)(а+5)=8
а²+8а+15=8
а²+8а+7=0
Д=64-28=36=6²
а=(-8±6)/2
а1=-7;а2=-1
а=-1 не приходит
ответ а=-7
3)к1≠к2
есть один решения
а≠-7;а≠-1

Answer 2

Для определения числа решений системы у нас есть несколько возможных случаев в зависимости от значения параметра "a". Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Случай 1: a + 3 ≠ 0 (т.е., a ≠ -3).

В этом случае систему можно привести к стандартному виду уравнений:

(a + 3)x + 4y = 5 - 3a => ax + 3x + 4y = 5 - 3a => ax + 4y = 5 - 3a - 3x (уравнение 1)

2x + (5 + a)y = 8 => 2x + 5y + ay = 8 (уравнение 2)

Мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (x и y). Если система не имеет ни одного решения, это будет означать, что уравнения противоречат друг другу, и не существует таких значений x и y, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям.

Для этого умножим оба уравнения на ненулевое число и сложим их. Например, домножим первое уравнение на 5 и второе на 4, затем сложим:

5(ax + 4y) = 5(5 - 3a - 3x) => 5ax + 20y = 25 - 15a - 15x (уравнение 3)

4(2x + 5y + ay) = 4(8) => 8x + 20y + 4ay = 32 => 8x + 20y = 32 - 4ay (уравнение 4)

Теперь вычтем уравнение 3 из уравнения 4:

8x + 20y - (5ax + 20y) = 32 - (25 - 15a - 15x)

Упростим:

8x + 20y - 5ax - 20y = 32 - 25 + 15a + 15x

3x = 7 + 15a

x = (7 + 15a) / 3

Теперь, зная x, найдем y из уравнения 1:

ax + 4y = 5 - 3a - 3x

Подставим значение x:

a((7 + 15a) / 3) + 4y = 5 - 3a - 3((7 + 15a) / 3)

Упростим:

(7a + 15a^2) / 3 + 4y = 5 - 3a - (7 + 15a)

(7a + 15a^2) / 3 + 4y = -2 - 12a

Теперь мы имеем выражение для y в зависимости от a:

4y = (-2 - 12a) - (7a + 15a^2) / 3

y = [(-2 - 12a) - (7a + 15a^2) / 3] / 4

Таким образом, при условии a ≠ -3, система имеет единственное решение, заданное значениями x = (7 + 15a) / 3 и y = [(-2 - 12a) - (7a + 15a^2) / 3] / 4.

2. Случай 2: a + 3 = 0 (т.е., a = -3).

В этом случае, подставив a = -3 в исходные уравнения, получим:

(а + 3)x + 4y = 5 - 3а => 0*x + 4y = 5 + 9 => 4y = 14 => y = 14/4 => y = 7/2

2x + (5 + а)y = 8 => 2x + (5 - 3)y = 8 => 2x + 5y - 3y = 8 => 2x + 2y = 8 => 2(x + y) = 8 => x + y = 8/2 => x + y = 4

Таким образом, при a = -3, система сводится к уравнению с двумя неизвестными, и у нее есть бесконечно много решений, которые представлены уравнением прямой: x + y = 4.

В итоге, определяем число решений системы в зависимости от параметра "a":

• При a ≠ -3, система имеет единственное решение, заданное значениями x = (7 + 15a) / 3 и y = [(-2 - 12a) - (7a + 15a^2) / 3] / 4.

• При a = -3, система имеет бесконечное количество решений, представленных уравнением прямой x + y = 4.