Question

Из пятизначного числа вычли такое же, но записаное в обратном порядке. Докажите, что получившееся число делится на 11. Объясните пожалуйста!

Answer 1

...........................................................................................

Answer 2

Давайте рассмотрим этот процесс на конкретном примере и затем обобщим его для любого пятизначного числа.

Пусть у нас есть пятизначное число ABCDE, где каждая буква обозначает одну из цифр этого числа. Записанное в обратном порядке число будет EDCBA.

Теперь вычтем из ABCDE число EDCBA:

ABCDE

• EDCBA

---

FGHIJ

Получим новое число FGHIJ.

Давайте обратим внимание на значения FGHIJ. Заметим, что F и J могут быть нулем, поскольку ABCDE и EDCBA могут начинаться и заканчиваться на одну и ту же цифру. Однако, это не повлияет на доказательство, так что допустим, что F и J не равны нулю.

Теперь рассмотрим числа ABCDE и EDCBA по отдельности:

ABCDE = 10000A + 1000B + 100C + 10D + E EDCBA = 10000E + 1000D + 100C + 10B + A

Теперь вычтем EDCBA из ABCDE:

FGHIJ = (10000A + 1000B + 100C + 10D + E) - (10000E + 1000D + 100C + 10B + A) FGHIJ = 9999A + 999B + 99D + 9E

Обратите внимание, что это новое число FGHIJ является кратным числа 9. Это происходит потому, что каждая цифра исходного числа (от 0 до 9) участвует в сумме с коэффициентом, который является кратным 9. Поэтому FGHIJ делится на 9.

Теперь давайте рассмотрим FGHIJ по отдельности:

FGHIJ = 9999A + 999B + 99D + 9E = 9(1111A + 111B + 11D + E)

Теперь мы видим, что FGHIJ является кратным числа 9 и содержит множитель 9. Таким образом, оно также делится на 11, поскольку 11 является простым числом и не имеет общих делителей с 9, кроме 1. Это завершает доказательство.

Таким образом, мы доказали, что любое пятизначное число, вычтенное из себя в обратном порядке, будет делиться на 11.