Question

Помогите с системой 2^x+3^y=12 2^y+3^x=18

Answer 1

2^x*3^y=3^1*2^2
2^y*3^x=3^2*2^1
x=2 y=1

(3/2)^(x-y)=3/2
x-y=1
x=1+y
2*2^y*3^y=12
6^y=6  y=1

Answer 2

Для решения этой системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения переменных. Давайте попробуем метод исключения переменных.

Дано система уравнений:

1. $2^x + 3^y = 12$
2. $2^y + 3^x = 18$

Давайте выразим одну переменную через другую, а затем подставим в другое уравнение. Для примера, давайте выразим $y$ через $x$ из первого уравнения:

1. $2^x + 3^y = 12$ $3^y = 12 - 2^x$ $y = \log_3(12 - 2^x)$

Теперь подставим выражение для $y$ во второе уравнение:

2. $2^y + 3^x = 18$ $2^{\log_3(12 - 2^x)} + 3^x = 18$

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной $x$. Давайте решим это уравнение:

$2^{\log_3(12 - 2^x)} = 18 - 3^x$

Для упрощения выразим $2^x$ как $3^{2x}$:

$3^{2x} = 18 - 3^x$

Теперь перепишем уравнение в более привычном виде:

$3^{2x} + 3^x - 18 = 0$

Теперь это квадратное уравнение относительно $3^x$. Решим его с помощью подстановки $t = 3^x$:

$t^2 + t - 18 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 18}}{2}$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 72}}{2}$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2}$

Теперь найдем два возможных значения $t$:

1. $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{73}}{2}$
2. $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{73}}{2}$

Теперь вернемся к исходному уравнению $t = 3^x$:

1. $3^x = \frac{-1 + \sqrt{73}}{2}$ $x = \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{73}}{2}\right)$

2. $3^x = \frac{-1 - \sqrt{73}}{2}$ $x = \log_3\left(\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}\right)$

Теперь, зная $x$, можно найти $y$ с помощью первого уравнения $y$ 0 0