Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций f(x)=x⁴-8x²+5 на отрезке [-3;2]. Ребят сделайте полное решение этих заданий

Answer 1

Решение смотрите во вкладке

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)=x^4-8x^2+5$ на отрезке $[-3;2]$, необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем критические точки функции $f(x)$, которые находятся там, где производная функции равна нулю или не существует.

Шаг 2: Определить значения функции $f(x)$ в найденных критических точках и на границах интервала $[-3;2]$.

Шаг 3: Сравнить найденные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на интервале $[-3;2]$.

Давайте выполним каждый шаг по очереди:

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

f(x) &= x^4 - 8x^2 + 5 \\ f'(x) &= 4x^3 - 16x \\ \end{align*}\] Теперь найдем \(x\), при котором \(f'(x) = 0\): \[4x^3 - 16x = 0\] \[4x(x^2 - 4) = 0\] Таким образом, \(x = 0\) и \(x = \pm 2\) - критические точки функции. Шаг 2: Найдем значения функции \(f(x)\) в критических точках и на границах интервала \([-3;2]\). а) \(x = 0\): \[f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5\] б) \(x = -3\): \[f(-3) = (-3)^4 - 8 \cdot (-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14\] в) \(x = 2\): \[f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11\] Шаг 3: Сравним значения функции \(f(x)\) из предыдущего шага. Наибольшее значение функции: \(f(-3) = 14\). Наименьшее значение функции: \(f(2) = -11\). Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) на интервале \([-3;2]\) равно 14, а наименьшее значение равно -11.