Question

Семнадцать одинаковых по весу и размеру шаров пронумерованы: 1,2...17, перемешаны и в случайном порядке расположены в ряд(вдоль бильярдного стола). Сколькими способами можно расположить в ряд эти шары так, чтобы шары номер 10,11,12 оказались в порядке возрастания, по не обязательно рядом?

Answer 1

Всего 17 шаров можно разложить в ряд 17! способами.

Рассмотрим положения шаров 10, 11 и 12. У них может быть 3! = 6 вариантов взаимного расположения, и только 1 вариант удовлетворяет условию. Поэтому, если положения всех остальных шаров фиксированы, то на 1 вариант, удовлетворяющий условию, приходится 5 не удовлетворяющих. Значит, условию удовлетворяет 1/6 вариантов разложения всех шаров, или 17!/6 способов (если очень интересно, сколько это, то 59281238016000).

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику и принцип упорядочивания. Чтобы определить, сколько способов расположения удовлетворяет условию, что шары номер 10, 11 и 12 идут в порядке возрастания, нужно рассмотреть все возможные положения этих шаров в ряду и посчитать количество способов для каждого случая.

1. Расположим шары 10, 11 и 12 в порядке возрастания. Тогда остается расставить остальные 14 шаров вокруг них. Это можно сделать 14! (факториал 14) способами.

2. Теперь рассмотрим случай, когда шары 10, 11 и 12 расположены не в порядке возрастания. Это означает, что они образуют один из следующих шаблонов:

   а) 10 12 11 б) 11 10 12 в) 12 11 10

   Для каждого из этих шаблонов остается расставить оставшиеся 14 шаров вокруг. Это делается также 14! способами.

Теперь посчитаем общее количество способов, удовлетворяющих условию:

Вариант 1 (шары 10, 11, 12 в порядке возрастания): 14! Вариант 2 (шары 10, 11, 12 не в порядке возрастания): 3 * 14!

Общее количество способов: 3 * 14! = 3 * 87178291200 = 261534873600.

Таким образом, существует 261 534 873 600 способов расположения шаров, чтобы шары с номерами 10, 11 и 12 были в порядке возрастания, но не обязательно рядом.