Question

Найти ассимптоты графика функции y= x/(x^2+3x-5)

Answer 1

Ответ:

Вертикальные ассимптоты  

х₁=( -3 - √29 ) /2

х₂= (-3+√29)/2

Горизонтальная ассимптота  у=0

Пошаговое объяснение:

Найти ассимптоты графика функции y= x/(x^2+3x-5)

Для нахождения вертикальных ассимптот находим ООФ

x^2+3x-5≠0

Решением уравнения

x^2+3x-5=0 будут вертикальные ассимптоты,поскольку в этих значениях х функция не существует

Решаем по формулам корня ,через дискриминант

а=1; в= 3; с=-5.

х= (-вх± √(в²-4ас) )/2а  =  (-3±√(9+20) )/2

Вертикальные ассимптоты  

х₁=(-3-√(9+20))/2 =-1,5-√29  /2

х₂= (-3+√(9+20))/2 =-1,5+√29 /2

Горизонтальная ассимптота равна пределу при х стремящемся к +∞ или -∞

разделим числитель и знаменатель на х и получим внутри предела в знаменателе бесконечность + постоянная +1 деленная на бесконечность(0)  общий знаменатель получается +∞,значит сам предел равен нулю с плюсом,то есть стремится к оси х сверху в положительной части х.

lim x/(x^2+3x-5)  =   lim   1/(x+3-5/x)  =  lim   1/∞ = +0  

при х→∞                     при х→∞                при х→∞

При подстановке минус бесконечности предел получается 1/-∞ равен -0.Минус означает,что при х стремящемся к минус бесконечности график бесконечно приближается к оси Х снизу )с о стороны отрицательных чисел)

lim x/(x^2+3x-5)  =   lim   1/(x+3-5/x)  =  lim   1/-∞ = -0  

при х→-∞                     при х→-∞                при х→-∞

Горизонтальная ассимптота  у=0

Answer 2

Для нахождения асимптот графика функции y = x / (x^2 + 3x - 5), нужно рассмотреть вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

1. Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты возникают в точках, где знаменатель функции равен нулю, но числитель не равен нулю, т.е., когда x^2 + 3x - 5 = 0.

Чтобы найти эти точки, решим уравнение: x^2 + 3x - 5 = 0

Используем квадратное уравнение или факторизацию: x^2 + 3x - 5 = 0 (x + 5)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две возможные вертикальные асимптоты: x + 5 = 0 => x = -5 x - 1 = 0 => x = 1

Таким образом, у функции есть вертикальные асимптоты x = -5 и x = 1.

2. Горизонтальные асимптоты: Горизонтальная асимптота существует, если степень числителя меньше или равна степени знаменателя. В нашем случае степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2).

Для нахождения горизонтальной асимптоты, разделим старшие коэффициенты числителя и знаменателя: y = x / (x^2 + 3x - 5)

При x -> ∞, функция будет стремиться к: y = 0 / (∞^2) = 0

Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y = 0.

3. Наклонные асимптоты: Наклонная асимптота существует, если степень числителя на единицу меньше степени знаменателя.

Для нахождения наклонной асимптоты, выполним деление с помощью длинного деления:

markdownCopy code
        x
  _____________

x^2 + 3x - 5 | x

Чтобы выполнить деление, разделим x на (x^2 + 3x - 5). Получим: x^2 + 3x - 5 | x

• (x^2 + 3x - 5)

---

markdownCopy code
        8x - 5

Таким образом, наклонной асимптоты нет, так как получили ненулевой остаток.

Итак, функция y = x / (x^2 + 3x - 5) имеет две вертикальные асимптоты (x = -5 и x = 1), одну горизонтальную асимптоту (y = 0) и не имеет наклонных асимптот.